Vecteurs et repérage dans l'espace — cours de Terminale
Vecteurs de l'espace, Bases et repères de l'espace, Coplanarité de points et de vecteurs, Représentation paramétrique d'une droite Lecture ≈ 4 min.
1. Vecteurs de l'espace
Dans l'espace, le vecteur AB est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme AB. Les règles de calcul vectoriel du plan restent valables : relation de Chasles, somme, opposé et multiplication par un réel.
AB + BC = AC ; AB = −BA ; AA = 0.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que u = λv.
Le vecteur w est une combinaison linéaire de u et v s'il existe des réels a et b tels que w = au + bv. Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires s'il existe des réels α, β, γ, non tous nuls, tels que αu + βv + γw = 0. Lorsque u et v ne sont pas colinéaires, cela équivaut à écrire w = au + bv.
Dans le cube ABCDEFGH, avec ABCD face inférieure et EFGH face supérieure, posons i = AB, j = AD, k = AE. Alors AG = AB + BC + CG = i + j + k. De même, FH = −i + j.
2. Bases et repères de l'espace
Une base de l'espace est un triplet (i, j, k) de vecteurs non coplanaires. Tout vecteur u s'écrit alors de manière unique :
u = xi + yj + zk.
Le triplet (x ; y ; z) forme les coordonnées de u. Un repère de l'espace est un quadruplet (O ; i, j, k). Les coordonnées d'un point M sont celles de OM.
Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors :
- AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) ;
- u + v et λu se calculent coordonnée par coordonnée ;
- le milieu I de [AB] a pour coordonnées (xA + xB2 ; yA + yB2 ; zA + zB2).
Pour u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z'), chercher un même réel λ tel que x = λx', y = λy' et z = λz'. Les « produits en croix » isolés sont risqués en présence de coordonnées nulles : vérifier les trois égalités.
Soient A(1 ; 2 ; −1), B(3 ; −2 ; 5) et C(0 ; 4 ; −4).
AB = (2 ; −4 ; 6) et AC = (−1 ; 2 ; −3). On constate AB = −2AC. Les points A, B et C sont donc alignés. De plus AC = −(12)AB, donc C se situe sur la droite (AB), de l'autre côté de A par rapport à B.
3. Coplanarité de points et de vecteurs
Les points A, B, C, D, avec A, B, C non alignés, sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels a, b tels que :
AD = aAB + bAC.
Calculer les trois vecteurs, poser l'égalité précédente puis identifier les coordonnées. On obtient trois équations pour deux inconnues. Résoudre deux équations et vérifier impérativement la troisième.
A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 2), C(0 ; 2 ; 1), D(3 ; 2 ; 7). On cherche a, b tels que (3 ; 2 ; 7) = a(1 ; 0 ; 2) + b(0 ; 2 ; 1) = (a ; 2b ; 2a + b). Les deux premières coordonnées donnent a = 3, b = 1. La troisième donne bien 2 × 3 + 1 = 7. Les quatre points sont coplanaires.
4. Représentation paramétrique d'une droite
La droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur non nul u(a ; b ; c) est l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels qu'il existe t ∈ ℝ vérifiant :
x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct.
La droite d passe par A(1 ; −2 ; 3) et a pour vecteur directeur (2 ; 1 ; −1). Une représentation est :
x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − t, t ∈ ℝ.
Le point P(5 ; 0 ; 1) appartient-il à d ? La première équation impose t = 2. La deuxième donne bien 0 et la troisième 1 : oui. Pour Q(3 ; −1 ; 3), la première impose t = 1, mais la troisième donnerait 2 et non 3 : Q n'appartient pas à d.
- Confondre les coordonnées du point A avec celles du vecteur directeur.
- Dans AB, calculer « A moins B » : c'est toujours arrivée moins départ, donc B moins A.
- Déclarer trois vecteurs coplanaires après avoir résolu seulement deux des trois équations.
- Employer le même paramètre pour deux droites lors d'une recherche d'intersection ; utiliser deux paramètres, par exemple t et s.