A(1 ; 2 ; 0), B(3 ; 1 ; 1), C(0 ; 0 ; 2) et D(4 ; 5 ; 3). a) Montrer que n(0 ; 1 ; 1) est normal au plan (ABC) et en déduire une équation de ce plan. b) Calculer la distance de D au plan (ABC). c) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de D sur (ABC) et retrouver la distance.
Voir la correction
a) AB = (2 ; −1 ; 1) et AC = (−1 ; −2 ; 2) ne sont pas colinéaires. n · AB = 0 − 1 + 1 = 0 et n · AC = 0 − 2 + 2 = 0 : n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan (ABC). Une équation est de la forme 0x + y + z + d = 0 ; avec A : 2 + 0 + d = 0, donc d = −2. Le plan (ABC) a pour équation y + z − 2 = 0. Vérification : B donne 1 + 1 − 2 = 0 et C donne 0 + 2 − 2 = 0.
b) d(D, (ABC)) = |0 × 4 + 5 + 3 − 2| / √0 + 1 + 1 = 6√2 = 3√2 ≈ 4,24.
c) H est le point du plan situé sur la droite passant par D et dirigée par n : H(4 ; 5 + t ; 3 + t). Dans l'équation du plan : (5 + t) + (3 + t) − 2 = 0, soit 6 + 2t = 0 et t = −3. Donc H(4 ; 2 ; 0). On vérifie que H ∈ (ABC) : 2 + 0 − 2 = 0. Enfin DH = (0 ; −3 ; −3) et DH = √0 + 9 + 9 = √18 = 3√2 : on retrouve la distance calculée en b).