Produit scalaire, orthogonalité et distances — cours de Terminale
Produit scalaire dans un repère orthonormé, Droites et plans perpendiculaires, Projeté orthogonal sur une droite et distance point-droite, Projeté orthogonal sur un plan Lecture ≈ 5 min.
1. Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans une base orthonormée, pour u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z') :
u · v = xx' + yy' + zz'.
La norme vérifie ||u|| = √x2 + y2 + z2.
- u · v = v · u (symétrie).
- u · (v + w) = u · v + u · w (bilinéarité).
- u · u = ||u||2.
- Pour deux vecteurs non nuls, u · v = ||u|| ||v|| cos(θ), où θ est l'angle géométrique entre eux.
En développant les carrés scalaires, on obtient :
u · v = [||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2]/2
u · v = [||u||2 + ||v||2 − ||u − v||2]/2.
Dans un triangle ABC, comme AB − AC = CB, on en déduit AB · AC = AB2 + AC2 − BC22.
Par bilinéarité et symétrie, ||u − v||2 = (u − v) · (u − v) = ||u||2 − 2u · v + ||v||2. Il suffit d'isoler le produit scalaire.
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
u(1 ; 2 ; −1), v(3 ; −1 ; 1). Leur produit scalaire vaut 1 × 3 + 2 × (−1) + (−1) × 1 = 0. Les vecteurs sont orthogonaux. Leurs normes sont √6 et √11.
2. Droites et plans perpendiculaires
- Une droite est perpendiculaire à un plan si un vecteur directeur de la droite est normal au plan.
- Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Elles ne sont dites perpendiculaires que si elles sont en plus sécantes.
P : 2x − y + 2z = 5 et d a pour vecteur directeur (2 ; −1 ; 2). Ce vecteur est précisément normal à P : d est perpendiculaire à P.
3. Projeté orthogonal sur une droite et distance point-droite
Le projeté orthogonal H d'un point A sur une droite d est l'unique point de d tel que AH soit orthogonal à un vecteur directeur de d. La distance de A à d est AH.
Pour tout point M de d distinct de H, le triangle AHM est rectangle en H. Le théorème de Pythagore donne AM2 = AH2 + HM2 ≥ AH2. Ainsi AM ≥ AH, avec égalité seulement pour M = H : le projeté est le point de la droite le plus proche de A.
Si d passe par B et a pour vecteur directeur non nul u, écrire H = B + tu. La condition AH · u = 0 donne :
t = BA · u / ||u||2.
On calcule ensuite les coordonnées de H, puis AH.
Soit A(1 ; 2 ; 3) et la droite d passant par l'origine, dirigée par u(1 ; 1 ; 0). Un point H de d a pour coordonnées (t ; t ; 0). La condition AH · u = (t − 1) + (t − 2) = 0 donne t = 32. Donc H(32 ; 32 ; 0) et d(A,d) = AH = √14 + 14 + 9 = √382.
4. Projeté orthogonal sur un plan
Le projeté orthogonal H d'un point A sur un plan P est l'unique point de P tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à P.
- Lire un vecteur normal n du plan.
- Écrire la droite passant par A et dirigée par n.
- Substituer cette représentation dans l'équation du plan.
- Résoudre pour obtenir le paramètre, puis les coordonnées de H.
Projeter A(1 ; 2 ; 3) sur P : x + 2y + 2z − 3 = 0.
- n(1 ; 2 ; 2) est normal à P.
- La perpendiculaire par A : x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 2t.
- Substitution : 1 + t + 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) − 3 = 0.
- Donc 8 + 9t = 0, soit t = −89.
- H(19 ; 29 ; 119). On vérifie 19 + 49 + 229 − 3 = 0.
5. Distance d'un point à un plan
Dans un repère orthonormé, la distance du point A(xA ; yA ; zA) au plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 vaut :
d(A,P) = |axA + byA + czA + d| / √a2 + b2 + c2.
Soit H le projeté de A sur P. Le vecteur AH est colinéaire à n(a ; b ; c), donc AH = λn. En injectant H = A + λn dans l'équation du plan, on trouve λ = −(axA + byA + czA + d)/||n||2. Ainsi AH = |λ| ||n||, ce qui donne la formule.
Distance de A(1 ; 2 ; 3) au plan précédent : |1 + 4 + 6 − 3|/√1 + 4 + 4 = 83. On retrouve AH : AH = (−89 ; −169 ; −169), dont la norme vaut 83.
6. Distance entre deux points et sphères
Dans un repère orthonormé :
AB = √[(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2].
La sphère de centre Ω(a ; b ; c) et de rayon R est l'ensemble des points M(x ; y ; z) vérifiant :
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.
Cette équation est un approfondissement naturel utile dans les problèmes géométriques ; elle ne doit pas faire oublier les méthodes vectorielles du programme.
- Utiliser les formules coordonnées dans un repère qui n'est pas orthonormé.
- Oublier la valeur absolue dans la distance point-plan.
- Dire que deux droites de directions orthogonales sont perpendiculaires sans vérifier qu'elles se coupent.
- Confondre projeté orthogonal et milieu : le projeté appartient au plan et la liaison est normale au plan.
- Calculer une distance à une droite avec une formule de distance point-plan ; il faut déterminer le projeté sur la droite.