Question 1

Dans un repère orthonormé, u(1;2;3) et v(−1;0;2). Combien vaut le produit scalaire u·v ?

Accepted Answer

5. u·v = 1×(−1) + 2×0 + 3×2 = −1 + 0 + 6 = 5.

Question 2

Les vecteurs u(2;−1;1) et v(1;1;−1) sont :

Accepted Answer

orthogonaux. u·v = 2 − 1 − 1 = 0, donc les deux vecteurs sont orthogonaux.

Question 3

Quelle est une équation du plan passant par A(2;0;1) et orthogonal à la droite de vecteur directeur u(1;−2;2) ?

Accepted Answer

x − 2y + 2z − 4 = 0. u est normal au plan, donc l'équation est x − 2y + 2z + d = 0, et A donne 2 + 2 + d = 0, soit d = −4.

Question 4

Si ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 et si l'angle entre u et v mesure 60°, combien vaut u·v ?

Accepted Answer

6. u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(60°) = 3 × 4 × 0,5 = 6.

Question 5

Pour tout vecteur u, le produit scalaire u·u est égal à :

Accepted Answer

‖u‖². Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme.

Question 6

Si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul, alors ces vecteurs sont orthogonaux.

Accepted Answer

Vrai. La nullité du produit scalaire caractérise exactement l'orthogonalité de deux vecteurs.

Question 7

Le produit scalaire de deux vecteurs est toujours un nombre positif.

Accepted Answer

Faux. Il est négatif lorsque l'angle entre les vecteurs est obtus, par exemple u(1;0;0)·v(−1;0;0) = −1.

Question 8

Dans un repère orthonormé, u(3;−1;2) et v(2;4;1). Combien vaut u·v ?

Accepted Answer

4. u·v = 3×2 + (−1)×4 + 2×1 = 6 − 4 + 2 = 4.

Question 9

Quelle est la norme du vecteur u(6;−3;2) dans un repère orthonormé ?

Accepted Answer

7. ‖u‖ = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.

Question 10

Pour quelle valeur de m les vecteurs u(1;m;2) et v(3;−1;−3) sont-ils orthogonaux ?

Accepted Answer

−3. u·v = 3 − m − 6 = −3 − m, qui s'annule pour m = −3.

Quiz — Produit scalaire, orthogonalité et distances (Terminale)

Dans un repère orthonormé, u(1;2;3) et v(−1;0;2). Combien vaut le produit scalaire u·v ?