Exercices corrigés — Produit scalaire, orthogonalité et distances (Terminale)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

u(2 ; −1 ; 2), v(1 ; 2 ; 0) et w(1 ; 1 ; 1). a) Calculer u · v, u · w et v · w. b) Quels couples de vecteurs sont orthogonaux ? c) Calculer ||u|| et ||w||, puis une mesure au degré près de l'angle géométrique entre u et w.

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Correction détaillée

a) Dans une base orthonormée, u · v = xx' + yy' + zz'. u · v = 2 × 1 + (−1) × 2 + 2 × 0 = 0 ; u · w = 2 − 1 + 2 = 3 ; v · w = 1 + 2 + 0 = 3.
b) Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u et v sont orthogonaux ; les deux autres couples ne le sont pas.
c) ||u|| = √4 + 1 + 4 = √9 = 3 et ||w|| = √1 + 1 + 1 = √3. Comme u · w = ||u|| × ||w|| × cos θ, on a cos θ = 33√3 = 1√3 = √33 ≈ 0,577. À la calculatrice, θ ≈ 54,7°, soit environ 55°. L'angle est aigu, ce qui est cohérent avec un produit scalaire positif.

Exercice 2 Découverte

Les plans P : x + 2y − z = 0 et Q : 2x − y = 3 sont-ils perpendiculaires ?

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Correction détaillée

deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. P a pour vecteur normal n(1 ; 2 ; −1). Q : 2x − y = 3, c'est-à-dire 2x − y + 0z − 3 = 0, a pour vecteur normal m(2 ; −1 ; 0) : la coordonnée nulle traduit l'absence de z dans l'équation.
n · m = 1 × 2 + 2 × (−1) + (−1) × 0 = 2 − 2 + 0 = 0.
Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans P et Q sont perpendiculaires. Ils sont sécants (des plans perpendiculaires le sont toujours) et leur droite d'intersection est orthogonale aux deux vecteurs normaux.

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