Exercices corrigés — Produit scalaire, orthogonalité et distances (Terminale)

a) d(Ω, P) = |2 × 1 − (−2) + 2 × 3 + 1| / √4 + 1 + 4 = |2 + 2 + 6 + 1|/3 = 113 ≈ 3,67.
b) La distance du centre au plan est strictement inférieure au rayon (113 < 5), donc le plan coupe la sphère. L'intersection est un cercle de centre K, projeté orthogonal de Ω sur P. Pour tout point M de ce cercle, le triangle ΩKM est rectangle en K, avec ΩM = 5 et ΩK = 113 ; d'après le théorème de Pythagore, KM² = ΩM² − ΩK² = 25 − 1219 = 1049, donc le rayon du cercle est r = √1043 = 2√26/3 ≈ 3,40.
c) K est sur la droite passant par Ω et dirigée par n(2 ; −1 ; 2) : K(1 + 2t ; −2 − t ; 3 + 2t). Dans l'équation de P : 2(1 + 2t) − (−2 − t) + 2(3 + 2t) + 1 = 11 + 9t = 0, donc t = −119. K(1 − 229 ; −2 + 119 ; 3 − 229) = K(−139 ; −79 ; 59). Vérification : ΩK = |t| × ||n|| = (119) × 3 = 113, qui est bien la distance calculée en a).

la droite d passe par B(1 ; 0 ; 2) (paramètre t = 0) et a pour vecteur directeur u(1 ; 1 ; −1). Un point H de d s'écrit H(1 + t ; t ; 2 − t) ; c'est le projeté orthogonal de A si et seulement si AH est orthogonal à u.
AH = (1 + t − 2 ; t − 0 ; 2 − t − 1) = (t − 1 ; t ; 1 − t). La condition AH · u = 0 s'écrit (t − 1) + t − (1 − t) = 3t − 2 = 0, donc t = 23.
On retrouve la formule du cours : BA = (1 ; 0 ; −1), BA · u = 1 + 0 + 1 = 2 et ||u||² = 3, d'où t = 23.
Ainsi H(53 ; 23 ; 43). Contrôle : AH = (−13 ; 23 ; 13) et AH · u = −13 + 23 − 13 = 0. La distance de A à d est AH = √19 + 49 + 19 = √69 = √63 ≈ 0,82.