Exercices corrigés — Produit scalaire, orthogonalité et distances (Terminale)

a) A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0) pour la face inférieure ; E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1) pour la face supérieure : même abscisse et même ordonnée que le sommet situé en dessous, et cote 1.
b) (AG) a pour vecteur directeur AG = (1 ; 1 ; 1) et (BD) a pour vecteur directeur BD = (−1 ; 1 ; 0). AG · BD = −1 + 1 + 0 = 0 : les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites sont orthogonales. La grande diagonale du cube est orthogonale à la diagonale [BD] de la face inférieure.
c) Deux droites orthogonales ne sont perpendiculaires que si elles sont, de plus, sécantes. (BD) est contenue dans le plan z = 0 de la face ABCD ; (AG), dont les points ont pour coordonnées (t ; t ; t), ne rencontre ce plan qu'en A (t = 0). Or A n'est pas sur (BD) : les points de (BD) vérifient x + y = 1, et 0 + 0 ≠ 1. Les deux droites n'ont aucun point commun : elles sont orthogonales et non coplanaires, donc pas perpendiculaires.

la distance d'un point A(x_A ; y_A ; z_A) au plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est |ax_A + by_A + cz_A + d| / √a² + b² + c², formule valable dans un repère orthonormé.
Ici (a ; b ; c ; d) = (2 ; 2 ; 1 ; −3) et B(2 ; −1 ; 4). Numérateur : |2 × 2 + 2 × (−1) + 1 × 4 − 3| = |4 − 2 + 4 − 3| = |3| = 3. Dénominateur : √2² + 2² + 1² = √9 = 3.
d(B, P) = 33 = 1. Interprétation : le projeté orthogonal H de B sur P vérifie BH = 1, et H est le point de P le plus proche de B. On peut le déterminer : H = B + λn avec λ = −39 = −13, soit H(43 ; −53 ; 113), et l'on vérifie 83 − 103 + 113 − 3 = 0.