Produit scalaire, orthogonalité et distances — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 11 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Produit scalaire dans un repère orthonormé
Définition coordonnée
Dans une base orthonormée, pour u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z') :
u · v = xx' + yy' + zz'.
La norme vérifie ||u|| = √x2 + y2 + z2.
Propriétés
- u · v = v · u (symétrie).
- u · (v + w) = u · v + u · w (bilinéarité).
- u · u = ||u||2.
- Pour deux vecteurs non nuls, u · v = ||u|| ||v|| cos(θ), où θ est l'angle géométrique entre eux.
Formules de polarisation
En développant les carrés scalaires, on obtient :
u · v = [||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2]/2
u · v = [||u||2 + ||v||2 − ||u − v||2]/2.
Dans un triangle ABC, comme AB − AC = CB, on en déduit AB · AC = AB2 + AC2 − BC22.
Orthogonalité
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
2. Droites et plans perpendiculaires
Caractérisations
- Une droite est perpendiculaire à un plan si un vecteur directeur de la droite est normal au plan.
- Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Elles ne sont dites perpendiculaires que si elles sont en plus sécantes.
3. Projeté orthogonal sur une droite et distance point-droite
Définition
Le projeté orthogonal H d'un point A sur une droite d est l'unique point de d tel que AH soit orthogonal à un vecteur directeur de d. La distance de A à d est AH.
Caractère minimal du projeté
Pour tout point M de d distinct de H, le triangle AHM est rectangle en H. Le théorème de Pythagore donne AM2 = AH2 + HM2 ≥ AH2. Ainsi AM ≥ AH, avec égalité seulement pour M = H : le projeté est le point de la droite le plus proche de A.
4. Projeté orthogonal sur un plan
Définition
Le projeté orthogonal H d'un point A sur un plan P est l'unique point de P tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à P.
5. Distance d'un point à un plan
Formule
Dans un repère orthonormé, la distance du point A(xA ; yA ; zA) au plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 vaut :
d(A,P) = |axA + byA + czA + d| / √a2 + b2 + c2.
6. Distance entre deux points et sphères
Distance
Dans un repère orthonormé :
AB = √[(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2].
Sphère
La sphère de centre Ω(a ; b ; c) et de rayon R est l'ensemble des points M(x ; y ; z) vérifiant :
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.
Cette équation est un approfondissement naturel utile dans les problèmes géométriques ; elle ne doit pas faire oublier les méthodes vectorielles du programme.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Démonstration d'une formule de polarisation
Par bilinéarité et symétrie, ||u − v||2 = (u − v) · (u − v) = ||u||2 − 2u · v + ||v||2. Il suffit d'isoler le produit scalaire.
Méthode 2Calculer le projeté sur une droite
Si d passe par B et a pour vecteur directeur non nul u, écrire H = B + tu. La condition AH · u = 0 donne :
t = BA · u / ||u||2.
On calcule ensuite les coordonnées de H, puis AH.
Méthode 3Déterminer un projeté
- Lire un vecteur normal n du plan.
- Écrire la droite passant par A et dirigée par n.
- Substituer cette représentation dans l'équation du plan.
- Résoudre pour obtenir le paramètre, puis les coordonnées de H.
Méthode 4Justification de la formule
Soit H le projeté de A sur P. Le vecteur AH est colinéaire à n(a ; b ; c), donc AH = λn. En injectant H = A + λn dans l'équation du plan, on trouve λ = −(axA + byA + czA + d)/||n||2. Ainsi AH = |λ| ||n||, ce qui donne la formule.
Méthode 5Erreurs fréquentes
- Utiliser les formules coordonnées dans un repère qui n'est pas orthonormé.
- Oublier la valeur absolue dans la distance point-plan.
- Dire que deux droites de directions orthogonales sont perpendiculaires sans vérifier qu'elles se coupent.
- Confondre projeté orthogonal et milieu : le projeté appartient au plan et la liaison est normale au plan.
- Calculer une distance à une droite avec une formule de distance point-plan ; il faut déterminer le projeté sur la droite.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés