Exercices corrigés — Limites de fonctions et asymptotes (Terminale)

a) x²e^−x = x²e^x. La forme est ∞∞, mais le théorème des croissances comparées affirme que e^x/xⁿ → +∞ pour tout entier n ≥ 1, donc xⁿ/e^x → 0. Ici n = 2 : la limite est 0. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
b) Forme ∞ − ∞. On factorise par e^x : e^x − x² = e^x(1 − x²e^x). D'après a), x²e^x → 0, donc la parenthèse tend vers 1 ; et e^x → +∞. Par produit, la limite est +∞.
c) Forme −∞ × 0. On pose t = −x ; quand x → −∞, t → +∞ et xe^x = −te^−t = −te^t. Par croissances comparées, te^t → 0, donc la limite est 0. La courbe de x ↦ xe^x admet l'axe des abscisses pour asymptote en −∞, en restant en dessous.

pour tout réel x, −1 ≤ cos(x) ≤ 1. Pour x > 0, on peut diviser par x sans changer le sens : −1x ≤ cos(x)x ≤ 1x.
Or −1x → 0 et 1x → 0 quand x → +∞. D'après le théorème des gendarmes, cos(x)x → 0, donc g(x) → 3.
Interprétation : la droite y = 3 est asymptote horizontale à la courbe de g en +∞. Ici g(x) − 3 = cos(x)x change de signe à chaque fois que le cosinus s'annule, c'est-à-dire en x = π2 + kπ : la courbe traverse son asymptote une infinité de fois, en oscillant avec une amplitude 1x de plus en plus faible. Une courbe n'est pas forcément d'un seul côté de son asymptote.