Exercices corrigés — Limites de fonctions et asymptotes (Terminale)

a) La forme est −∞ + ∞, indéterminée. On factorise par le terme dominant : x³ − 2x² + 5 = x³(1 − 2x + 5x³). Quand x → −∞, la parenthèse tend vers 1 et x³ → −∞ (le cube d'un nombre négatif est négatif). Par produit, la limite est −∞. Un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
b) 2x → 0 et 1x² → 0, donc la limite est 3.
c) Quand x → +∞, −x → −∞, donc e^−x → 0 par composition. La limite est 0 + 2 = 2.
d) Aucune indétermination : le numérateur tend vers 0 + 1 = 1 et le dénominateur vers 0 − 1 = −1 ≠ 0. Par quotient, la limite est 1−1 = −1. On remplace simplement x par 0, ce qui n'est possible que parce que la fonction est définie et continue en 0.

f est définie pour x ≠ 2 : le domaine est ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[, et les bornes à étudier sont −∞, 2⁻, 2⁺ et +∞.
En ±∞ : la forme est ∞∞. On factorise par x : f(x) = x(3 + 1x) / [x(1 − 2x)] = (3 + 1x)/(1 − 2x) → 31 = 3. La droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe en −∞ et en +∞.
En 2 : le numérateur tend vers 3 × 2 + 1 = 7 > 0 et le dénominateur vers 0 ; il faut son signe. Si x < 2, x − 2 < 0 : quotient d'un nombre proche de 7 par un nombre négatif proche de 0, f(x) → −∞ quand x → 2⁻. Si x > 2, x − 2 > 0 et f(x) → +∞ quand x → 2⁺.
La droite d'équation x = 2 est asymptote verticale. Les limites à gauche et à droite sont différentes : la fonction n'a pas de limite en 2.

a) x² − 1 = (x − 1)(x + 1) s'annule pour x = 1 et x = −1 : le domaine est ℝ privé de {−1 ; 1}.
b) En ±∞, forme ∞∞ : f(x) = x²(2 − 3x²) / [x²(1 − 1x²)] = (2 − 3x²)/(1 − 1x²) → 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale en −∞ et en +∞.
c) En 1, le numérateur tend vers 2 − 3 = −1 < 0. Le dénominateur (x − 1)(x + 1) tend vers 0 ; près de 1, x + 1 ≈ 2 > 0, donc son signe est celui de x − 1 : négatif à gauche, positif à droite. Ainsi f(x) → +∞ quand x → 1^{−f(x) → −∞ quand x → 1+.
En −1, le numérateur tend aussi vers −1. Près de −1, x − 1 ≈ −2 < 0, donc le signe du dénominateur est l'opposé de celui de x + 1 : positif à gauche de −1, négatif à droite. Ainsi f(x) → −∞ quand x → −1− et f(x) → +∞ quand x → −1+.
Les droites x = 1 et x = −1 sont asymptotes verticales. Un tableau de signes du dénominateur sécurise ces quatre limites.}

la forme est ∞ − ∞, indéterminée. On multiplie et divise par l'expression conjuguée √x² + 4x + x, strictement positive pour x > 0 :
√x² + 4x − x = [(x² + 4x) − x²] / [√x² + 4x + x] = 4x / [√x² + 4x + x].
Pour x > 0, √x² + 4x = √x²(1 + 4x) = x√1 + 4x, car √x² = x quand x > 0. Le quotient devient 4x / [x(√1 + 4x + 1)] = 4√1 + 4/x + 1.
Comme 4x → 0, √1 + 4x → 1 et la limite est 41 + 1 = 2. La courbe de x ↦ √x² + 4x se rapproche de la droite y = x + 2 en +∞.

a) x²e^−x = x²e^x. La forme est ∞∞, mais le théorème des croissances comparées affirme que e^x/xⁿ → +∞ pour tout entier n ≥ 1, donc xⁿ/e^x → 0. Ici n = 2 : la limite est 0. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
b) Forme ∞ − ∞. On factorise par e^x : e^x − x² = e^x(1 − x²e^x). D'après a), x²e^x → 0, donc la parenthèse tend vers 1 ; et e^x → +∞. Par produit, la limite est +∞.
c) Forme −∞ × 0. On pose t = −x ; quand x → −∞, t → +∞ et xe^x = −te^−t = −te^t. Par croissances comparées, te^t → 0, donc la limite est 0. La courbe de x ↦ xe^x admet l'axe des abscisses pour asymptote en −∞, en restant en dessous.

pour tout réel x, −1 ≤ cos(x) ≤ 1. Pour x > 0, on peut diviser par x sans changer le sens : −1x ≤ cos(x)x ≤ 1x.
Or −1x → 0 et 1x → 0 quand x → +∞. D'après le théorème des gendarmes, cos(x)x → 0, donc g(x) → 3.
Interprétation : la droite y = 3 est asymptote horizontale à la courbe de g en +∞. Ici g(x) − 3 = cos(x)x change de signe à chaque fois que le cosinus s'annule, c'est-à-dire en x = π2 + kπ : la courbe traverse son asymptote une infinité de fois, en oscillant avec une amplitude 1x de plus en plus faible. Une courbe n'est pas forcément d'un seul côté de son asymptote.

on effectue la division euclidienne de x² + 1 par x − 1 : x² + 1 = (x + 1)(x − 1) + 2, car (x + 1)(x − 1) = x² − 1. Donc, pour x ≠ 1 :
g(x) = x + 1 + 2x − 1.
Quand x → ±∞, 2x − 1 → 0, donc g(x) − (x + 1) → 0 : la droite D d'équation y = x + 1 est asymptote oblique à la courbe en −∞ et en +∞.
Position relative : g(x) − (x + 1) = 2x − 1 est du signe de x − 1. Pour x > 1, la courbe est au-dessus de D ; pour x < 1, elle est en dessous. En 1, la fonction n'est pas définie et la droite x = 1 est asymptote verticale.

a) On réduit au même dénominateur : ax + b + cx − 2 = [(ax + b)(x − 2) + c]/(x − 2) = [ax² + (b − 2a)x + (c − 2b)]/(x − 2). Par identification avec x² − 3x + 6 : a = 1 ; b − 2 = −3, donc b = −1 ; c + 2 = 6, donc c = 4.
Ainsi h(x) = x − 1 + 4x − 2. Vérification : (x − 1)(x − 2) + 4 = x² − 3x + 2 + 4 = x² − 3x + 6.
b) 4x − 2 → 0 en ±∞, donc la droite y = x − 1 est asymptote oblique en −∞ et en +∞. La différence h(x) − (x − 1) = 4x − 2 est positive pour x > 2 (courbe au-dessus de l'asymptote) et négative pour x < 2 (courbe en dessous).
c) En 2, le numérateur tend vers 4 − 6 + 6 = 4 > 0 et x − 2 tend vers 0 : h(x) → −∞ quand x → 2⁻ (dénominateur négatif) et h(x) → +∞ quand x → 2⁺. La droite x = 2 est asymptote verticale.