Exercices corrigés — Limites de fonctions et asymptotes (Terminale)

on effectue la division euclidienne de x² + 1 par x − 1 : x² + 1 = (x + 1)(x − 1) + 2, car (x + 1)(x − 1) = x² − 1. Donc, pour x ≠ 1 :
g(x) = x + 1 + 2x − 1.
Quand x → ±∞, 2x − 1 → 0, donc g(x) − (x + 1) → 0 : la droite D d'équation y = x + 1 est asymptote oblique à la courbe en −∞ et en +∞.
Position relative : g(x) − (x + 1) = 2x − 1 est du signe de x − 1. Pour x > 1, la courbe est au-dessus de D ; pour x < 1, elle est en dessous. En 1, la fonction n'est pas définie et la droite x = 1 est asymptote verticale.

a) On réduit au même dénominateur : ax + b + cx − 2 = [(ax + b)(x − 2) + c]/(x − 2) = [ax² + (b − 2a)x + (c − 2b)]/(x − 2). Par identification avec x² − 3x + 6 : a = 1 ; b − 2 = −3, donc b = −1 ; c + 2 = 6, donc c = 4.
Ainsi h(x) = x − 1 + 4x − 2. Vérification : (x − 1)(x − 2) + 4 = x² − 3x + 2 + 4 = x² − 3x + 6.
b) 4x − 2 → 0 en ±∞, donc la droite y = x − 1 est asymptote oblique en −∞ et en +∞. La différence h(x) − (x − 1) = 4x − 2 est positive pour x > 2 (courbe au-dessus de l'asymptote) et négative pour x < 2 (courbe en dessous).
c) En 2, le numérateur tend vers 4 − 6 + 6 = 4 > 0 et x − 2 tend vers 0 : h(x) → −∞ quand x → 2⁻ (dénominateur négatif) et h(x) → +∞ quand x → 2⁺. La droite x = 2 est asymptote verticale.