Exercices corrigés — Limites de fonctions et asymptotes (Terminale)

a) x² − 1 = (x − 1)(x + 1) s'annule pour x = 1 et x = −1 : le domaine est ℝ privé de {−1 ; 1}.
b) En ±∞, forme ∞∞ : f(x) = x²(2 − 3x²) / [x²(1 − 1x²)] = (2 − 3x²)/(1 − 1x²) → 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale en −∞ et en +∞.
c) En 1, le numérateur tend vers 2 − 3 = −1 < 0. Le dénominateur (x − 1)(x + 1) tend vers 0 ; près de 1, x + 1 ≈ 2 > 0, donc son signe est celui de x − 1 : négatif à gauche, positif à droite. Ainsi f(x) → +∞ quand x → 1^{−f(x) → −∞ quand x → 1+.
En −1, le numérateur tend aussi vers −1. Près de −1, x − 1 ≈ −2 < 0, donc le signe du dénominateur est l'opposé de celui de x + 1 : positif à gauche de −1, négatif à droite. Ainsi f(x) → −∞ quand x → −1− et f(x) → +∞ quand x → −1+.
Les droites x = 1 et x = −1 sont asymptotes verticales. Un tableau de signes du dénominateur sécurise ces quatre limites.}

la forme est ∞ − ∞, indéterminée. On multiplie et divise par l'expression conjuguée √x² + 4x + x, strictement positive pour x > 0 :
√x² + 4x − x = [(x² + 4x) − x²] / [√x² + 4x + x] = 4x / [√x² + 4x + x].
Pour x > 0, √x² + 4x = √x²(1 + 4x) = x√1 + 4x, car √x² = x quand x > 0. Le quotient devient 4x / [x(√1 + 4x + 1)] = 4√1 + 4/x + 1.
Comme 4x → 0, √1 + 4x → 1 et la limite est 41 + 1 = 2. La courbe de x ↦ √x² + 4x se rapproche de la droite y = x + 2 en +∞.