Exercices corrigés — Limites de fonctions et asymptotes (Terminale)

a) La forme est −∞ + ∞, indéterminée. On factorise par le terme dominant : x³ − 2x² + 5 = x³(1 − 2x + 5x³). Quand x → −∞, la parenthèse tend vers 1 et x³ → −∞ (le cube d'un nombre négatif est négatif). Par produit, la limite est −∞. Un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
b) 2x → 0 et 1x² → 0, donc la limite est 3.
c) Quand x → +∞, −x → −∞, donc e^−x → 0 par composition. La limite est 0 + 2 = 2.
d) Aucune indétermination : le numérateur tend vers 0 + 1 = 1 et le dénominateur vers 0 − 1 = −1 ≠ 0. Par quotient, la limite est 1−1 = −1. On remplace simplement x par 0, ce qui n'est possible que parce que la fonction est définie et continue en 0.

f est définie pour x ≠ 2 : le domaine est ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[, et les bornes à étudier sont −∞, 2⁻, 2⁺ et +∞.
En ±∞ : la forme est ∞∞. On factorise par x : f(x) = x(3 + 1x) / [x(1 − 2x)] = (3 + 1x)/(1 − 2x) → 31 = 3. La droite d'équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe en −∞ et en +∞.
En 2 : le numérateur tend vers 3 × 2 + 1 = 7 > 0 et le dénominateur vers 0 ; il faut son signe. Si x < 2, x − 2 < 0 : quotient d'un nombre proche de 7 par un nombre négatif proche de 0, f(x) → −∞ quand x → 2⁻. Si x > 2, x − 2 > 0 et f(x) → +∞ quand x → 2⁺.
La droite d'équation x = 2 est asymptote verticale. Les limites à gauche et à droite sont différentes : la fonction n'a pas de limite en 2.