Limites de fonctions et asymptotes — cours de Terminale
Limite en un point et à l'infini, Limites usuelles, Opérations et composition, Lever les indéterminations Lecture ≈ 4 min.
1. Limite en un point et à l'infini
Dire que f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers a signifie que f(x) devient aussi proche que l'on veut de ℓ dès que x est suffisamment proche de a (sans exiger x = a). On écrit limxa f(x) = ℓ. On définit de même les limites à droite (x → a+), à gauche, en +∞ et en −∞.
limxa f(x) = +∞ signifie que f(x) dépasse tout réel fixé quand x est assez proche de a. Une limite bilatérale existe seulement si les limites à gauche et à droite coïncident.
Pour f(x) = 1x − 2, la limite en 2 n'existe pas au sens bilatéral : quand x → 2−, le dénominateur est négatif et tend vers 0, donc f(x) → −∞ ; quand x → 2+, f(x) → +∞.
2. Limites usuelles
- Quand x → +∞, xn → +∞ et 1xn → 0 pour n ≥ 1.
- Quand x → ±∞, ex → +∞ à droite et ex → 0 à gauche.
- Quand x → 0, sin(x)x → 1 et cos(x) − 1x → 0.
- Quand x → 0, ex − 1x → 1.
Pour tout entier n ≥ 1 :
limx→+∞ ex/xn = +∞ ; limx→+∞ xne−x = 0.
Après l'étude du logarithme, on ajoutera ln(x)xn → 0 en +∞.
3. Opérations et composition
Les règles sur sommes, produits et quotients sont analogues à celles des suites, avec les mêmes formes indéterminées. Pour une composée : si f(x) → b quand x → a et si g(y) → c quand y → b, alors g(f(x)) → c, sous les conditions de domaine nécessaires.
Quand x → +∞, 2x − 3 → +∞, puis e−(2x−3) → 0. Ainsi 4 + e−(2x−3) → 4.
4. Lever les indéterminations
Factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme dominant. Par exemple :
2x3 − x + 4x2 + 1 = x[2 − 1x2 + 4x3]/[1 + 1x2] → +∞ lorsque x → +∞.
Utiliser le conjugué. Pour x → +∞ :
√x2 + 3x − x = 3x/[√x2 + 3x + x] = 3/[√1 + 3x + 1] → 32.
Pour étudier xe−x en +∞, écrire xex et appliquer les croissances comparées. Pour ex/x quand x → −∞, poser t = −x → +∞ : ex/x = −e−t/t → 0.
5. Asymptotes verticales et horizontales ; cas oblique en approfondissement
- Si f(x) → ±∞ quand x → a, la droite x = a est une asymptote verticale.
- Si f(x) → ℓ quand x → ±∞, la droite y = ℓ est une asymptote horizontale.
- Approfondissement : si f(x) − (ax + b) → 0 quand x → ±∞, la droite y = ax + b est une asymptote oblique.
Effectuer une division euclidienne ou isoler la partie affine. Pour f(x) = 2x2 + 3x − 1x + 1 :
f(x) = 2x + 1 − 2x + 1. Comme le dernier terme tend vers 0 en ±∞, la droite y = 2x + 1 est asymptote. De plus, f(x) − (2x + 1) = −2x + 1, ce qui permet d'étudier la position relative de la courbe.
6. Théorèmes de comparaison
Les théorèmes énoncés pour les suites s'adaptent aux fonctions au voisinage d'un point ou à l'infini. Par exemple, si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) et g(x) → 0, alors f(x) → 0.
Pour x ≠ 0, |sin(x)x2| ≤ 1x2. Quand x → ±∞, le majorant tend vers 0, donc sin(x)x2 → 0.
- Remplacer directement dans une forme indéterminée et annoncer un résultat.
- Oublier de distinguer limite à gauche et à droite près d'un dénominateur nul.
- Dire que y = ax + b est asymptote sans vérifier que la différence tend vers 0.
- Écrire √x2 = x quand x → −∞ : la valeur correcte est |x| = −x.