On interroge n personnes choisies au hasard pour estimer la proportion inconnue p d'électeurs favorables à un projet, et l'on note Fn la fréquence observée. Quelle taille n garantit, par l'inégalité de Tchebychev, que |Fn − p| < 0,02 avec une probabilité au moins 0,95, sans rien connaître de p ?
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Fn est la moyenne de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p : E(Fn) = p et V(Fn) = p1 − pn. Comme p est inconnu, on utilise la majoration p(1 − p) ≤ 14, valable pour tout p de [0 ; 1] (le maximum est atteint en p = 12).
Tchebychev avec δ = 0,02 : P(|Fn − p| ≥ 0,02) ≤ p1 − pn × 0,022 ≤ 14n × 0,0004 = 10,0016n.
On veut cette borne inférieure ou égale à 0,05 : 10,0016n ≤ 0,05 ⇔ n ≥ 10,0016 × 0,05 = 10,00008 = 12 500.
Interroger 12 500 personnes garantit la précision demandée. Les instituts de sondage se contentent d'environ 1 000 personnes pour une précision voisine : leur calcul repose sur la loi binomiale elle-même (ou son approximation), bien plus précise que l'inégalité de Tchebychev, qui surestime largement la taille nécessaire.