Question 1

Pour une variable X d'espérance μ et de variance σ², l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore P(|X − μ| ≥ δ) par :

Accepted Answer

σ²/δ². C'est l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, valable pour tout réel δ > 0.

Question 2

Pour la moyenne Mₙ d'un échantillon de taille n issu d'une loi de variance σ², l'inégalité de concentration majore P(|Mₙ − μ| ≥ δ) par :

Accepted Answer

σ²/(nδ²). On applique Tchebychev à Mₙ, dont la variance vaut σ²/n.

Question 3

X a pour variance σ² = 2. Quel majorant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle pour P(|X − μ| ≥ 4) ?

Accepted Answer

0,125. Le majorant vaut σ²/δ² = 2/16 = 0,125.

Question 4

D'après la loi des grands nombres, quand n devient grand, la moyenne Mₙ d'un échantillon se concentre autour de :

Accepted Answer

l'espérance μ. La probabilité que Mₙ s'écarte de μ de plus de δ tend vers 0 quand n tend vers +∞.

Question 5

Pour un échantillon de taille n = 100 issu d'une loi de variance σ² = 1, quel majorant obtient-on pour P(|Mₙ − μ| ≥ 0,5) ?

Accepted Answer

0,04. Le majorant vaut σ²/(nδ²) = 1/(100 × 0,25) = 0,04.

Question 6

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire possédant une espérance et une variance, quelle que soit sa loi.

Accepted Answer

Vrai. Aucune hypothèse sur la loi n'est nécessaire, seule l'existence de μ et de σ² est requise.

Question 7

Quand la taille n de l'échantillon augmente, la variance de la moyenne Mₙ augmente.

Accepted Answer

Faux. V(Mₙ) = σ²/n diminue quand n augmente : la moyenne est de plus en plus concentrée autour de μ.

Question 8

X a pour variance σ² = 4. Quel majorant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle pour P(|X − μ| ≥ 5) ?

Accepted Answer

0,16. Le majorant vaut σ²/δ² = 4/25 = 0,16.

Question 9

Un échantillon de taille n = 4 est issu d'une loi de variance σ² = 8. Quelle est la variance de la moyenne Mₙ ?

Accepted Answer

2. V(Mₙ) = σ²/n = 8/4 = 2.

Question 10

Pour un échantillon de taille n = 50 issu d'une loi de variance σ² = 1, quel majorant obtient-on pour P(|Mₙ − μ| ≥ 0,2) ?

Accepted Answer

0,5. Le majorant vaut σ²/(nδ²) = 1/(50 × 0,04) = 1/2 = 0,5.

Quiz — Concentration et loi des grands nombres (Terminale)

Pour une variable X d'espérance μ et de variance σ², l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore P(|X − μ| ≥ δ) par :