Exercices corrigés — Concentration et loi des grands nombres (Terminale)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

On lance une pièce équilibrée. Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant. a) Sur 1 000 lancers, on obtient exactement 500 piles. b) Si les dix premiers lancers ont tous donné pile, le onzième a plus de chances de donner face. c) Quand n augmente, la probabilité que la fréquence de pile sur n lancers soit comprise entre 0,49 et 0,51 tend vers 1. d) Quand n augmente, l'écart |S_n − n2| entre le nombre de piles et n2 tend vers 0.

Voir la correction

Correction détaillée

a) Faux. Le nombre de piles suit ℬ(1000 ; 0,5) ; la valeur 500 est la plus probable, mais P(S₁₀₀₀ = 500) ≈ 0,025 seulement. La loi des grands nombres parle de la fréquence proche de 0,5, pas d'une égalité exacte.
b) Faux. Les lancers sont indépendants : la probabilité de face au onzième lancer reste 0,5, quels que soient les résultats précédents. La pièce n'a pas de mémoire ; l'idée d'une « compensation » à venir est une erreur classique. La loi des grands nombres agit par dilution des premiers résultats dans un grand nombre de lancers, non par compensation.
c) Vrai. C'est exactement l'énoncé de la loi faible des grands nombres avec δ = 0,01 : P(|F_n − 0,5| ≥ 0,01) ≤ 14n × 0,01² = 2 500n, qui tend vers 0, donc la probabilité de l'événement contraire tend vers 1.
d) Faux. C'est la fréquence S_n/n qui se concentre autour de 12, pas le nombre de piles autour de n2. L'écart type de S_n vaut √n4 = √n2 et augmente avec n : l'écart typique |S_n − n2| grandit (environ 16 pour n = 1 000), alors que l'écart relatif |F_n − 12| diminue comme 1√n.

Exercice 8 Challenge

On exécute deux fois la fonction frequences(0.3, 1000) du cours et l'on obtient deux listes différentes. a) Que représente evolution[k-1] ? b) Pourquoi les deux listes diffèrent-elles ? c) Majorer la probabilité que la dernière valeur evolution[999] s'écarte de 0,3 de 0,05 ou plus. d) Modifier la fonction pour qu'elle renvoie seulement la fréquence finale.

Voir la correction

Correction détaillée

a) Après k passages dans la boucle, succes compte les succès obtenus lors des k premières épreuves, et evolution reçoit succes / k : evolution[k-1] est la fréquence des succès sur les k premières épreuves (les indices commençant à 0). La liste décrit la trajectoire de la fréquence au fil des épreuves.
b) Chaque appel de random() produit un nouveau nombre pseudo-aléatoire : les épreuves simulées ne sont pas les mêmes d'une exécution à l'autre, donc les fréquences intermédiaires diffèrent. Les deux trajectoires ont en revanche le même comportement global : elles fluctuent beaucoup au début puis se stabilisent près de 0,3.
c) evolution[999] est la fréquence F₁₀₀₀ de l'exercice précédent : P(|F₁₀₀₀ − 0,3| ≥ 0,05) ≤ 0,084. Dans au moins 91,6 % des exécutions, la fréquence finale est comprise entre 0,25 et 0,35.
d) Il suffit de ne plus construire la liste et de renvoyer le quotient final : après la boucle for k in range(1, n + 1): ne contenant que le test if random() < p: succes += 1, on écrit return succes / n. Cette version est plus économe en mémoire ; l'ancienne reste utile pour tracer la stabilisation.

Revoir le cours Fiche résumé Passer le quiz