Concentration et loi des grands nombres — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 6 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Inégalité de concentration
Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de variance finie V(X). Pour tout réel δ > 0 :
P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)δ2.
Forme complémentaire : P(|X − μ| < δ) ≥ 1 − V(X)δ2.
2. Concentration de la moyenne
Inégalité pour une moyenne empirique
Si X1, ..., Xn sont indépendantes, de même espérance μ et de même variance σ2, alors pour tout δ > 0 :
P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤ σ2nδ2.
3. Fréquence d'un succès
Fréquence aléatoire
Dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p, soit Sn le nombre de succès. La fréquence Fn = Sn/n est la moyenne de n variables de Bernoulli.
Paramètres et concentration
E(Fn) = p et V(Fn) = p1 − pn. Ainsi :
P(|Fn − p| ≥ δ) ≤ p1 − pnδ2 ≤ 14nδ2.
La dernière inégalité utilise p(1 − p) ≤ 14.
4. Loi faible des grands nombres
Théorème
Pour une suite de variables indépendantes et de même loi, possédant une espérance μ et une variance finie, la moyenne empirique Mn converge en probabilité vers μ :
pour tout δ > 0, P(|Mn − μ| ≥ δ) → 0.
Interprétation correcte
Quand la taille de l'échantillon augmente, il devient très probable que la moyenne observée soit proche de l'espérance. Le théorème ne dit ni que chaque observation est proche de la moyenne, ni que l'égalité exacte finit par se produire, ni qu'une courte série doit être régulière.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Idée de démonstration dans le cas fini
Sur l'événement |X − μ| ≥ δ, on a (X − μ)2 ≥ δ2. Donc :
V(X) = E[(X − μ)2] ≥ δ2P(|X − μ| ≥ δ).
En divisant par δ2, on obtient l'inégalité.
Méthode 2Démonstration
On a E(Mn) = μ et V(Mn) = σ2n. Il suffit d'appliquer Bienaymé-Tchebychev à Mn.
Méthode 3Démonstration
Par l'inégalité précédente, 0 ≤ P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤ σ2nδ2. Le majorant tend vers 0 ; le théorème des gendarmes conclut.
Méthode 4Observer la stabilisation
from random import random
def frequences(p, n):
succes = 0
evolution = []
for k in range(1, n + 1):
if random() < p:
succes += 1
evolution.append(succes / k)
return evolutionDeux simulations donnent des trajectoires différentes. La loi des grands nombres porte sur la probabilité d'un écart, pas sur une trajectoire déterministe.
Méthode 5Erreurs fréquentes
- Inverser le sens de l'inégalité de Tchebychev : elle majore la probabilité d'être loin.
- Oublier le carré de δ.
- Présenter la borne comme une probabilité exacte.
- Affirmer qu'une fréquence « devient égale » à p ; elle se concentre autour de p.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés