Exercices corrigés — Concentration et loi des grands nombres (Terminale)

a) Pour ℬ(n ; p) : E(X) = np = 100 × 0,5 = 50 et V(X) = np(1 − p) = 100 × 0,5 × 0,5 = 25. L'écart type vaut 5.
b) Avec δ = 10 : P(|X − 50| ≥ 10) ≤ 25100 = 0,25. La probabilité d'obtenir au plus 40 piles ou au moins 60 piles sur 100 lancers d'une pièce équilibrée est au plus 0,25.
c) La valeur exacte, 0,057, est plus de quatre fois plus petite que la borne 0,25. L'inégalité de Tchebychev est universelle, elle vaut pour toute loi de variance 25, mais elle est grossière : elle ne tient pas compte de la forme particulière de la loi binomiale, très concentrée autour de sa moyenne.
Elle est donc surtout un outil théorique, qui suffit à démontrer la loi des grands nombres ; lorsque la loi est connue, on préfère le calcul exact ou une simulation.

la moyenne M_n de n variables indépendantes de même loi a pour espérance μ et pour variance σ²n = 4n. L'inégalité de Tchebychev appliquée à M_n avec δ = 0,2 donne P(|M_n − μ| ≥ 0,2) ≤ (4n)/0,2² = 40,04n = 100n.
Il suffit donc que 100n ≤ 0,01, soit n ≥ 1000,01 = 10 000.
Avec 10 000 observations, la moyenne empirique est à moins de 0,2 de μ avec une probabilité au moins 0,99, quelle que soit la loi des variables.
Cette condition est suffisante mais pas nécessaire : pour une loi donnée, un échantillon bien plus petit peut suffire. C'est le prix de la généralité de l'inégalité.