Exercices corrigés — Concentration et loi des grands nombres (Terminale)

a) V(X) = σ² = 25. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec δ = 15 donne P(|X − 100| ≥ 15) ≤ VXδ² = 25225 = 19 ≈ 0,111.
b) L'événement 85 < X < 115 s'écrit |X − 100| < 15 : c'est le contraire de l'événement précédent. Donc P(85 < X < 115) = 1 − P(|X − 100| ≥ 15) ≥ 1 − 19 = 89 ≈ 0,889. Quelle que soit la loi de X, au moins 89 % des valeurs sont dans ]85 ; 115[, soit à moins de trois écarts types de la moyenne.
c) Avec δ = 5 = σ, la borne vaut 2525 = 1 : l'inégalité affirme P(|X − 100| ≥ 5) ≤ 1, ce qui est toujours vrai et n'apporte rien.
L'inégalité de Tchebychev n'est informative que pour δ > σ, c'est-à-dire pour des écarts supérieurs à un écart type ; elle devient utile à partir de deux ou trois écarts types (bornes 14 et 19).

l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire d'espérance μ et de variance finie : pour tout δ > 0, P(|X − μ| ≥ δ) ≤ VXδ².
Ici μ = 20, V(X) = 25 et δ = 10 : P(|X − 20| ≥ 10) ≤ 2510² = 25100 = 0,25.
La probabilité que X s'écarte de sa moyenne de 10 ou plus (c'est-à-dire X ≤ 10 ou X ≥ 30) est au plus 14. L'écart type est σ = 5, donc δ = 10 représente deux écarts types : on retrouve la borne générale 12² = 14 pour un écart de deux écarts types.
C'est une majoration, pas une valeur : selon la loi de X, la probabilité réelle peut être bien plus petite que 0,25.