Exercices corrigés — Concentration et loi des grands nombres (Terminale)

a) V(X) = σ² = 25. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec δ = 15 donne P(|X − 100| ≥ 15) ≤ VXδ² = 25225 = 19 ≈ 0,111.
b) L'événement 85 < X < 115 s'écrit |X − 100| < 15 : c'est le contraire de l'événement précédent. Donc P(85 < X < 115) = 1 − P(|X − 100| ≥ 15) ≥ 1 − 19 = 89 ≈ 0,889. Quelle que soit la loi de X, au moins 89 % des valeurs sont dans ]85 ; 115[, soit à moins de trois écarts types de la moyenne.
c) Avec δ = 5 = σ, la borne vaut 2525 = 1 : l'inégalité affirme P(|X − 100| ≥ 5) ≤ 1, ce qui est toujours vrai et n'apporte rien.
L'inégalité de Tchebychev n'est informative que pour δ > σ, c'est-à-dire pour des écarts supérieurs à un écart type ; elle devient utile à partir de deux ou trois écarts types (bornes 14 et 19).

l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire d'espérance μ et de variance finie : pour tout δ > 0, P(|X − μ| ≥ δ) ≤ VXδ².
Ici μ = 20, V(X) = 25 et δ = 10 : P(|X − 20| ≥ 10) ≤ 2510² = 25100 = 0,25.
La probabilité que X s'écarte de sa moyenne de 10 ou plus (c'est-à-dire X ≤ 10 ou X ≥ 30) est au plus 14. L'écart type est σ = 5, donc δ = 10 représente deux écarts types : on retrouve la borne générale 12² = 14 pour un écart de deux écarts types.
C'est une majoration, pas une valeur : selon la loi de X, la probabilité réelle peut être bien plus petite que 0,25.

a) Pour ℬ(n ; p) : E(X) = np = 100 × 0,5 = 50 et V(X) = np(1 − p) = 100 × 0,5 × 0,5 = 25. L'écart type vaut 5.
b) Avec δ = 10 : P(|X − 50| ≥ 10) ≤ 25100 = 0,25. La probabilité d'obtenir au plus 40 piles ou au moins 60 piles sur 100 lancers d'une pièce équilibrée est au plus 0,25.
c) La valeur exacte, 0,057, est plus de quatre fois plus petite que la borne 0,25. L'inégalité de Tchebychev est universelle, elle vaut pour toute loi de variance 25, mais elle est grossière : elle ne tient pas compte de la forme particulière de la loi binomiale, très concentrée autour de sa moyenne.
Elle est donc surtout un outil théorique, qui suffit à démontrer la loi des grands nombres ; lorsque la loi est connue, on préfère le calcul exact ou une simulation.

la moyenne M_n de n variables indépendantes de même loi a pour espérance μ et pour variance σ²n = 4n. L'inégalité de Tchebychev appliquée à M_n avec δ = 0,2 donne P(|M_n − μ| ≥ 0,2) ≤ (4n)/0,2² = 40,04n = 100n.
Il suffit donc que 100n ≤ 0,01, soit n ≥ 1000,01 = 10 000.
Avec 10 000 observations, la moyenne empirique est à moins de 0,2 de μ avec une probabilité au moins 0,99, quelle que soit la loi des variables.
Cette condition est suffisante mais pas nécessaire : pour une loi donnée, un échantillon bien plus petit peut suffire. C'est le prix de la généralité de l'inégalité.

F_n est la moyenne de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p : E(F_n) = p et V(F_n) = p1 − pn. Comme p est inconnu, on utilise la majoration p(1 − p) ≤ 14, valable pour tout p de [0 ; 1] (le maximum est atteint en p = 12).
Tchebychev avec δ = 0,02 : P(|F_n − p| ≥ 0,02) ≤ p1 − pn × 0,02² ≤ 14n × 0,0004 = 10,0016n.
On veut cette borne inférieure ou égale à 0,05 : 10,0016n ≤ 0,05 ⇔ n ≥ 10,0016 × 0,05 = 10,00008 = 12 500.
Interroger 12 500 personnes garantit la précision demandée. Les instituts de sondage se contentent d'environ 1 000 personnes pour une précision voisine : leur calcul repose sur la loi binomiale elle-même (ou son approximation), bien plus précise que l'inégalité de Tchebychev, qui surestime largement la taille nécessaire.

F₁₀₀₀ = S₁₀₀₀1 000 est la moyenne de 1 000 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,3 : E(F₁₀₀₀) = 0,3 et V(F₁₀₀₀) = 0,3 × 0,71 000 = 0,211 000 = 0,000 21.
L'événement |F₁₀₀₀ − 0,3| < 0,05 est le contraire de |F₁₀₀₀ − 0,3| ≥ 0,05, que Tchebychev majore : P(|F₁₀₀₀ − 0,3| ≥ 0,05) ≤ 0,000 210,05² = 0,000 210,0025 = 0,084.
Donc P(|F₁₀₀₀ − 0,3| < 0,05) ≥ 1 − 0,084 = 0,916.
Sur 1 000 répétitions, la fréquence observée est comprise entre 0,25 et 0,35 avec une probabilité d'au moins 91,6 % ; la probabilité réelle, calculable avec la loi binomiale ℬ(1000 ; 0,3), dépasse 99,9 %.

a) Faux. Le nombre de piles suit ℬ(1000 ; 0,5) ; la valeur 500 est la plus probable, mais P(S₁₀₀₀ = 500) ≈ 0,025 seulement. La loi des grands nombres parle de la fréquence proche de 0,5, pas d'une égalité exacte.
b) Faux. Les lancers sont indépendants : la probabilité de face au onzième lancer reste 0,5, quels que soient les résultats précédents. La pièce n'a pas de mémoire ; l'idée d'une « compensation » à venir est une erreur classique. La loi des grands nombres agit par dilution des premiers résultats dans un grand nombre de lancers, non par compensation.
c) Vrai. C'est exactement l'énoncé de la loi faible des grands nombres avec δ = 0,01 : P(|F_n − 0,5| ≥ 0,01) ≤ 14n × 0,01² = 2 500n, qui tend vers 0, donc la probabilité de l'événement contraire tend vers 1.
d) Faux. C'est la fréquence S_n/n qui se concentre autour de 12, pas le nombre de piles autour de n2. L'écart type de S_n vaut √n4 = √n2 et augmente avec n : l'écart typique |S_n − n2| grandit (environ 16 pour n = 1 000), alors que l'écart relatif |F_n − 12| diminue comme 1√n.

a) Après k passages dans la boucle, succes compte les succès obtenus lors des k premières épreuves, et evolution reçoit succes / k : evolution[k-1] est la fréquence des succès sur les k premières épreuves (les indices commençant à 0). La liste décrit la trajectoire de la fréquence au fil des épreuves.
b) Chaque appel de random() produit un nouveau nombre pseudo-aléatoire : les épreuves simulées ne sont pas les mêmes d'une exécution à l'autre, donc les fréquences intermédiaires diffèrent. Les deux trajectoires ont en revanche le même comportement global : elles fluctuent beaucoup au début puis se stabilisent près de 0,3.
c) evolution[999] est la fréquence F₁₀₀₀ de l'exercice précédent : P(|F₁₀₀₀ − 0,3| ≥ 0,05) ≤ 0,084. Dans au moins 91,6 % des exécutions, la fréquence finale est comprise entre 0,25 et 0,35.
d) Il suffit de ne plus construire la liste et de renvoyer le quotient final : après la boucle for k in range(1, n + 1): ne contenant que le test if random() < p: succes += 1, on écrit return succes / n. Cette version est plus économe en mémoire ; l'ancienne reste utile pour tracer la stabilisation.