Exercices corrigés — Calcul intégral (Terminale)

a) 3(t − 2)² = 3(t² − 4t + 4) = 3t² − 12t + 12 = v(t). La vitesse est donc toujours positive ou nulle, et s'annule à l'instant t = 2 : le mobile ralentit jusqu'à s'arrêter en t = 2, puis accélère à nouveau.
b) La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse : ∫₀⁴ (3t² − 12t + 12) dt = [t³ − 6t² + 12t]₀⁴ = 64 − 96 + 48 = 16. Le mobile parcourt 16 m.
c) La vitesse moyenne est la valeur moyenne de v : (14 − 0) × 16 = 4 m/s. C'est la vitesse constante qui ferait parcourir la même distance dans le même temps.
Théorème de la moyenne : v étant continue, il existe c ∈ [0 ; 4] tel que v(c) = 4. On résout 3(t − 2)² = 4, soit (t − 2)² = 43 et t = 2 ± 2√3, c'est-à-dire t ≈ 0,85 s ou t ≈ 3,15 s : la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne à deux instants.

l'intégrande est un produit d'un polynôme par une fonction trigonométrique : on intègre par parties en dérivant le polynôme. Posons u(x) = x et v'(x) = cos x, donc u'(x) = 1 et v(x) = sin x. Ces fonctions sont dérivables et leurs dérivées continues sur [0 ; 1].
Formule : ∫₀¹ uv' = [uv]₀¹ − ∫₀¹ u'v. Donc I = [x sin x]₀¹ − ∫₀¹ sin x dx.
Le terme de bord vaut 1 × sin 1 − 0 = sin 1. La nouvelle intégrale vaut [−cos x]₀¹ = −cos 1 + cos 0 = 1 − cos 1.
I = sin 1 − (1 − cos 1) = sin 1 + cos 1 − 1 ≈ 0,841 + 0,540 − 1 = 0,381. Attention : ici 1 désigne un angle de 1 radian. On peut vérifier la cohérence : sur [0 ; 1], 0 ≤ x cos x ≤ 1, donc 0 ≤ I ≤ 1.