Exercices corrigés — Calcul intégral (Terminale)

a) On dérive le logarithme, que l'on ne sait pas intégrer directement, et l'on intègre x : u(x) = ln x, u'(x) = 1x ; v'(x) = x, v(x) = x²2. Ces fonctions ont des dérivées continues sur [1 ; e].
I = [(x²2) ln x]₁^e − ∫₁^e (x²2) × (1x) dx = (e²2) ln e − (12) ln 1 − ∫₁^e x2 dx.
Le terme de bord vaut e²2. La nouvelle intégrale vaut [x²4]₁^e = e²4 − 14. Donc I = e²2 − e²4 + 14 = e² + 14 ≈ 2,10.
b) La valeur moyenne sur [1 ; e] est Ie − 1 = (e² + 1)/[4(e − 1)] ≈ 2,0971,718 ≈ 1,22. Cohérence : la fonction x ln x croît de 0 (en 1) à e ≈ 2,72 (en e), et sa moyenne 1,22 est bien comprise entre ces valeurs.

la fonction t ↦ e^−t2 est continue sur ℝ. D'après le théorème fondamental, F est l'unique primitive de cette fonction qui s'annule en 0 : F est dérivable sur ℝ et F'(x) = e^−x2.
Or e^−x2 > 0 pour tout réel x : F' est strictement positive, donc F est strictement croissante sur ℝ.
Signe : F(0) = ∫₀⁰ e^−t2 dt = 0. Comme F est strictement croissante, F(x) < 0 pour x < 0 et F(x) > 0 pour x > 0. Pour x > 0, F(x) est l'aire sous la courbe en cloche entre 0 et x.
On a répondu sans connaître d'expression explicite de F : la fonction e^−t2 n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles, mais le théorème fondamental garantit son existence et donne sa dérivée. Un encadrement est possible : sur [0 ; x], e^−x2 ≤ e^−t2 ≤ 1, donc xe^−x2 ≤ F(x) ≤ x pour x > 0.