Exercices corrigés — Calcul intégral (Terminale)

sur [1 ; e], la fonction x ↦ 2x + 1x est continue. Une primitive est F(x) = x² + ln x : en effet (x²)' = 2x et (ln x)' = 1x sur ]0 ; +∞[.
∫₁^e (2x + 1x) dx = [x² + ln x]₁^e = F(e) − F(1) = (e² + ln e) − (1² + ln 1) = (e² + 1) − (1 + 0) = e².
L'intégrale vaut e² ≈ 7,39. Comme la fonction est positive sur [1 ; e], c'est aussi l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la courbe entre les abscisses 1 et e.

J : l'intégrande est de la forme u'e^u avec u(x) = x², u' = 2x. Une primitive est e^x2. Donc J = [e^x2]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1,72.
K : on fait apparaître u'/u avec u(x) = x² + 1 > 0 et u' = 2x : xx² + 1 = (12) × 2x/(x² + 1). Une primitive est (12) ln(x² + 1), sans valeur absolue puisque x² + 1 > 0.
K = [(12) ln(x² + 1)]₀² = (12) ln 5 − (12) ln 1 = ln 52 ≈ 0,80.
Dans les deux cas, on vérifie la primitive en la dérivant avant de remplacer les bornes ; le facteur 12 de K compense le 2 de u'.