Calcul intégral — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Intégrale et primitive
Définition
Soit f continue sur un intervalle et a, b deux points de cet intervalle. Si F est une primitive de f, on définit :
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ab.
La variable x est muette : ∫ab f(x) dx = ∫ab f(t) dt.
Indépendance de la primitive
Si G = F + C, alors G(b) − G(a) = F(b) + C − F(a) − C. La constante disparaît : l'intégrale est bien définie.
2. Interprétation géométrique
Aire sous une courbe
Si f est continue et positive sur [a ; b], l'intégrale ∫ab f(x)dx est l'aire, en unités d'aire, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a, x = b.
Aire algébrique
Si f est négative, son intégrale est l'opposé de l'aire géométrique. L'aire entre deux courbes f et g avec f ≥ g vaut ∫(f − g). Si leur ordre change, découper aux points d'intersection ou intégrer |f − g|.
3. Propriétés de l'intégrale
Propriétés algébriques
- ∫aa f = 0 et ∫ba f = −∫ab f.
- Chasles : ∫ac f = ∫ab f + ∫bc f.
- Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g.
Ordre et valeur absolue
Si f ≤ g sur [a ; b] avec a ≤ b, alors ∫abf ≤ ∫abg. Si m ≤ f ≤ M, alors :
m(b − a) ≤ ∫abf(x)dx ≤ M(b − a).
De plus, |∫f| ≤ ∫|f|.
4. Fonction définie par une intégrale
Théorème fondamental
Si f est continue sur un intervalle contenant a, la fonction :
F(x) = ∫ax f(t)dt
est l'unique primitive de f qui s'annule en a. En particulier, F'(x) = f(x).
5. Valeur moyenne
Définition
La valeur moyenne d'une fonction continue f sur [a ; b], a < b, est :
μ = 1b − a ∫ab f(x)dx.
Théorème de la moyenne
Si f est continue, il existe c ∈ [a ; b] tel que f(c) = μ. Géométriquement, le rectangle de largeur b − a et de hauteur μ a la même aire algébrique que la région sous la courbe.
6. Intégration par parties
Formule
Si u et v sont dérivables et leurs dérivées continues sur [a ; b], alors :
∫ab u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u'(x)v(x)dx.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Idée de démonstration
Le taux d'accroissement est :
[F(x + h) − F(x)]/h = (1h)∫xx+hf(t)dt.
Il s'agit de la valeur moyenne de f sur un très petit intervalle. Par continuité, elle tend vers f(x) lorsque h tend vers 0.
Méthode 2Démonstration
La formule du produit donne (uv)' = u'v + uv'. En intégrant entre a et b :
[uv]ab = ∫abu'v + ∫abuv'. On isole la seconde intégrale.
Méthode 3Sommes de rectangles
Découper [a ; b] en n intervalles de largeur h = b − an. La somme à gauche est h∑k=0n−1f(a + kh). Pour une fonction continue, ces sommes convergent vers l'intégrale lorsque n tend vers l'infini.
def rectangles_gauche(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
somme = 0
for k in range(n):
somme = somme + f(a + k * h)
return h * sommeMéthode 4Erreurs fréquentes
- Calculer F(a) − F(b) au lieu de « borne supérieure moins borne inférieure ».
- Confondre intégrale et aire lorsque la fonction est négative.
- Oublier le terme de bord [uv]ab dans une intégration par parties.
- Traiter le symbole dx comme un facteur numérique ; il indique la variable d'intégration.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés