Exercices corrigés — Calcul intégral (Terminale)

la parabole coupe l'axe des abscisses lorsque 4 − x² = 0, soit x = −2 ou x = 2. Entre ces deux valeurs, 4 − x² > 0 (par exemple 4 − 0 = 4 en 0) : la courbe est au-dessus de l'axe, et l'aire est égale à l'intégrale.
Aire = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³3]₋₂² = (8 − 83) − (−8 + 83) = 16 − 163 = 323.
L'aire vaut 323 ≈ 10,67 unités d'aire. La fonction étant paire, on pouvait calculer 2 × ∫₀² (4 − x²) dx = 2 × (8 − 83) = 2 × 163 = 323. Ce résultat illustre la formule d'Archimède : l'aire sous une parabole vaut les deux tiers du rectangle qui la contient, ici (23) × 4 × 4 = 323.

on cherche d'abord les points d'intersection : x² = 2x ⇔ x² − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2. Les courbes se coupent en (0 ; 0) et (2 ; 4).
Position relative sur [0 ; 2] : pour x = 1, 2x = 2 > 1 = x², et plus généralement 2x − x² = x(2 − x) ≥ 0 sur [0 ; 2]. La droite est donc au-dessus de la parabole sur cet intervalle.
L'aire entre deux courbes est l'intégrale de la différence « courbe du dessus moins courbe du dessous » : Aire = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³3]₀² = (4 − 83) − 0 = 43.
L'aire vaut 43 unités d'aire. Si l'on avait intégré x² − 2x, on aurait obtenu −43 : le signe négatif signale que l'ordre des courbes a été inversé.