Exercices corrigés — Simulations et loi des grands nombres (Seconde)

la fréquence observée est le nombre de piles divisé par le nombre de lancers : f = 214400 = 0,535.
Pour une pièce équilibrée, la probabilité de pile vaut 0,5. La fréquence 0,535 en est proche : l'écart de 0,035 correspond à 14 piles de plus que les 200 attendus en moyenne, ce qui est courant sur 400 lancers à cause de la fluctuation d'échantillonnage.
Ce résultat est compatible avec le modèle de la pièce équilibrée, mais il ne le prouve pas : une pièce légèrement déséquilibrée (probabilité de pile 0,53 par exemple) aurait pu donner le même résultat.
Formulation correcte : « la fréquence observée, 0,535, est proche de 0,5 ; rien dans ces données ne contredit l'hypothèse d'une pièce équilibrée ». Pour trancher davantage, il faudrait beaucoup plus de lancers.

a) Chaque fréquence est le nombre de piles divisé par 100 : 0,47 ; 0,53 ; 0,49 ; 0,55 ; 0,44.
b) Sur les 500 lancers réunis, le nombre total de piles est 47 + 53 + 49 + 55 + 44 = 248, d'où la fréquence 248500 = 0,496. C'est aussi la moyenne des cinq fréquences, car les échantillons ont la même taille.
c) Les cinq échantillons, pourtant issus de la même pièce, donnent des fréquences différentes, comprises entre 0,44 et 0,55 : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Aucune n'est exactement 0,5.
La fréquence sur 500 lancers, 0,496, est plus proche de 0,5 que la plupart des fréquences sur 100 lancers : en augmentant la taille de l'échantillon, la fluctuation diminue, ce qu'exprime la loi des grands nombres.