Simulations et loi des grands nombres — cours de Seconde
Échantillon et fréquence observée, Version vulgarisée de la loi des grands nombres, Simuler avec Python, Observer la stabilisation Lecture ≈ 4 min.
1. Échantillon et fréquence observée
Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois une même expérience aléatoire dans les mêmes conditions. Si un événement A apparaît k fois, sa fréquence observée est f = kn.
Deux échantillons de même taille issus du même modèle ne donnent généralement pas exactement la même fréquence. Cette variation due au hasard est appelée fluctuation d'échantillonnage. Elle tend à être moins marquée quand la taille augmente.
2. Version vulgarisée de la loi des grands nombres
« Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. »
Cet énoncé ne signifie ni que la fréquence devient égale à la probabilité, ni qu'elle se rapproche à chaque nouvelle répétition. Il décrit un comportement global, avec des fluctuations aléatoires.
Pour une pièce équilibrée, la probabilité de pile est 0,5. Sur 20 lancers, on peut observer 0,65 ; sur 10 000 lancers, une fréquence telle que 0,503 est courante. Une petite série peut beaucoup s'écarter de 0,5 sans remettre en cause le modèle.
3. Simuler avec Python
from random import randint
def frequence_pile(n):
succes = 0
for i in range(n):
if randint(0, 1) == 1:
succes = succes + 1
return succes / n
print(frequence_pile(10000))
randint(0, 1) renvoie aléatoirement 0 ou 1 avec équiprobabilité. Chaque exécution produit en général un résultat différent. La variable succes compte les piles.
4. Observer la stabilisation
- Choisir un modèle et expliciter ses hypothèses.
- Simuler des tailles croissantes : 10, 100, 1 000, 10 000.
- Calculer la fréquence à chaque taille.
- Répéter toute la simulation pour constater la fluctuation.
- Comparer à la probabilité théorique sans confondre modèle et réalité.
from random import randint
def frequence_six(n):
compteur = 0
for i in range(n):
if randint(1, 6) == 6:
compteur = compteur + 1
return compteur / n
La fréquence doit fluctuer autour de la probabilité théorique 16 ≈ 0,1667 lorsque le dé simulé est équilibré.
5. Construire un modèle à partir de données
Pour un phénomène réel dont la probabilité est inconnue, une fréquence observée sur un grand nombre d'essais peut suggérer une probabilité pour un modèle. Ce choix reste une modélisation : il faut discuter la qualité des données, les biais de collecte et la stabilité du phénomène.
Une punaise lancée 5 000 fois tombe pointe en haut 3 140 fois, soit une fréquence 0,628. On peut proposer p ≈ 0,63 comme paramètre d'un modèle, mais pas affirmer une valeur exacte universelle : la forme des punaises et le protocole influencent le résultat.
6. Répétitions indépendantes
Dans une simulation de répétitions indépendantes, le résultat d'un essai ne modifie pas la loi du suivant. Les appels successifs d'une fonction aléatoire servent à modéliser cette situation.
from random import randint
def deux_des():
return randint(1, 6) + randint(1, 6)
Chaque appel simule deux dés équilibrés indépendants et renvoie leur somme. Il permet ensuite d'estimer la probabilité d'obtenir 7 en comptant les appels qui renvoient 7.
7. Ce qui n'est pas exigible en 2026
Le programme 2026 demande d'observer la loi des grands nombres à l'aide d'une simulation et de comprendre la fluctuation. Les anciens intervalles de fluctuation, les formules du type 1√n et les intervalles d'estimation ne sont pas des attendus de cette classe. Ils ne sont donc ni utilisés comme recettes ni exigés dans les exercices de ce cours.
- Confondre fréquence observée et probabilité du modèle.
- Croire que le hasard « compense » immédiatement une série inhabituelle.
- Changer le modèle après avoir vu les résultats sans le signaler.
- Présenter les anciens intervalles de fluctuation comme exigibles dans le programme 2026.