Simulations et loi des grands nombres — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 1 méthode. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Échantillon et fréquence observée
Définitions
Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois une même expérience aléatoire dans les mêmes conditions. Si un événement A apparaît k fois, sa fréquence observée est f = kn.
Fluctuation d'échantillonnage
Deux échantillons de même taille issus du même modèle ne donnent généralement pas exactement la même fréquence. Cette variation due au hasard est appelée fluctuation d'échantillonnage. Elle tend à être moins marquée quand la taille augmente.
2. Version vulgarisée de la loi des grands nombres
Énoncé au programme
« Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. »
Cet énoncé ne signifie ni que la fréquence devient égale à la probabilité, ni qu'elle se rapproche à chaque nouvelle répétition. Il décrit un comportement global, avec des fluctuations aléatoires.
5. Construire un modèle à partir de données
Modèle et réalité
Pour un phénomène réel dont la probabilité est inconnue, une fréquence observée sur un grand nombre d'essais peut suggérer une probabilité pour un modèle. Ce choix reste une modélisation : il faut discuter la qualité des données, les biais de collecte et la stabilité du phénomène.
6. Répétitions indépendantes
Idée
Dans une simulation de répétitions indépendantes, le résultat d'un essai ne modifie pas la loi du suivant. Les appels successifs d'une fonction aléatoire servent à modéliser cette situation.
7. Ce qui n'est pas exigible en 2026
Limite officielle
Le programme 2026 demande d'observer la loi des grands nombres à l'aide d'une simulation et de comprendre la fluctuation. Les anciens intervalles de fluctuation, les formules du type 1√n et les intervalles d'estimation ne sont pas des attendus de cette classe. Ils ne sont donc ni utilisés comme recettes ni exigés dans les exercices de ce cours.
Erreurs fréquentes
- Confondre fréquence observée et probabilité du modèle.
- Croire que le hasard « compense » immédiatement une série inhabituelle.
- Changer le modèle après avoir vu les résultats sans le signaler.
- Présenter les anciens intervalles de fluctuation comme exigibles dans le programme 2026.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode expérimentale
- Choisir un modèle et expliciter ses hypothèses.
- Simuler des tailles croissantes : 10, 100, 1 000, 10 000.
- Calculer la fréquence à chaque taille.
- Répéter toute la simulation pour constater la fluctuation.
- Comparer à la probabilité théorique sans confondre modèle et réalité.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés