Exercices corrigés — Simulations et loi des grands nombres (Seconde)

la fréquence observée du six est 930 = 0,30, alors que la probabilité théorique pour un dé équilibré est 16 ≈ 0,167. L'écart est important : on observe presque deux fois plus de six qu'attendu (5 en moyenne).
Pour autant, un échantillon de taille 30 est petit et fluctue beaucoup : obtenir 9 six ou plus avec un dé équilibré est peu fréquent mais tout à fait possible. Cela ne suffit pas à affirmer que le dé est truqué.
Pour questionner sérieusement le modèle, il faudrait répéter la simulation avec un nombre de lancers bien plus grand (1 000 ou 10 000) : si la fréquence restait proche de 0,30, le modèle équilibré serait à rejeter ; si elle se rapprochait de 0,167, la série de 9 six n'était qu'une fluctuation.
Réponse : non, pas nécessairement ; une petite série ne permet pas de conclure, ni dans un sens ni dans l'autre.

la probabilité théorique d'obtenir six est 16 ≈ 0,1667. Les écarts entre la fréquence observée et cette probabilité sont 0,133 pour n = 10, 0,043 pour n = 100, 0,005 pour n = 1 000 et 0,0008 pour n = 10 000.
Plus la taille de l'échantillon augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité : c'est la loi des grands nombres, dans sa version au programme (« lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité »).
Deux précisions : la fréquence ne devient jamais exactement égale à 16, et une nouvelle simulation donnerait d'autres valeurs (par exemple 0,1 pour n = 10, ou 0,168 pour n = 10 000) : seule la tendance générale est prévisible, pas chaque valeur.
Le rapprochement n'est pas non plus régulier à chaque lancer : entre deux tailles, la fréquence peut momentanément s'éloigner. Ce qui est fiable, c'est le comportement pour de grandes tailles.