Exercices corrigés — Simulations et loi des grands nombres (Seconde)

la fréquence observée est le nombre de piles divisé par le nombre de lancers : f = 214400 = 0,535.
Pour une pièce équilibrée, la probabilité de pile vaut 0,5. La fréquence 0,535 en est proche : l'écart de 0,035 correspond à 14 piles de plus que les 200 attendus en moyenne, ce qui est courant sur 400 lancers à cause de la fluctuation d'échantillonnage.
Ce résultat est compatible avec le modèle de la pièce équilibrée, mais il ne le prouve pas : une pièce légèrement déséquilibrée (probabilité de pile 0,53 par exemple) aurait pu donner le même résultat.
Formulation correcte : « la fréquence observée, 0,535, est proche de 0,5 ; rien dans ces données ne contredit l'hypothèse d'une pièce équilibrée ». Pour trancher davantage, il faudrait beaucoup plus de lancers.

a) Chaque fréquence est le nombre de piles divisé par 100 : 0,47 ; 0,53 ; 0,49 ; 0,55 ; 0,44.
b) Sur les 500 lancers réunis, le nombre total de piles est 47 + 53 + 49 + 55 + 44 = 248, d'où la fréquence 248500 = 0,496. C'est aussi la moyenne des cinq fréquences, car les échantillons ont la même taille.
c) Les cinq échantillons, pourtant issus de la même pièce, donnent des fréquences différentes, comprises entre 0,44 et 0,55 : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Aucune n'est exactement 0,5.
La fréquence sur 500 lancers, 0,496, est plus proche de 0,5 que la plupart des fréquences sur 100 lancers : en augmentant la taille de l'échantillon, la fluctuation diminue, ce qu'exprime la loi des grands nombres.

la fréquence observée du six est 930 = 0,30, alors que la probabilité théorique pour un dé équilibré est 16 ≈ 0,167. L'écart est important : on observe presque deux fois plus de six qu'attendu (5 en moyenne).
Pour autant, un échantillon de taille 30 est petit et fluctue beaucoup : obtenir 9 six ou plus avec un dé équilibré est peu fréquent mais tout à fait possible. Cela ne suffit pas à affirmer que le dé est truqué.
Pour questionner sérieusement le modèle, il faudrait répéter la simulation avec un nombre de lancers bien plus grand (1 000 ou 10 000) : si la fréquence restait proche de 0,30, le modèle équilibré serait à rejeter ; si elle se rapprochait de 0,167, la série de 9 six n'était qu'une fluctuation.
Réponse : non, pas nécessairement ; une petite série ne permet pas de conclure, ni dans un sens ni dans l'autre.

la probabilité théorique d'obtenir six est 16 ≈ 0,1667. Les écarts entre la fréquence observée et cette probabilité sont 0,133 pour n = 10, 0,043 pour n = 100, 0,005 pour n = 1 000 et 0,0008 pour n = 10 000.
Plus la taille de l'échantillon augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité : c'est la loi des grands nombres, dans sa version au programme (« lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité »).
Deux précisions : la fréquence ne devient jamais exactement égale à 16, et une nouvelle simulation donnerait d'autres valeurs (par exemple 0,1 pour n = 10, ou 0,168 pour n = 10 000) : seule la tendance générale est prévisible, pas chaque valeur.
Le rapprochement n'est pas non plus régulier à chaque lancer : entre deux tailles, la fréquence peut momentanément s'éloigner. Ce qui est fiable, c'est le comportement pour de grandes tailles.

le test porte sur la parité de d : un entier est pair lorsque le reste de sa division par 2 est nul, ce qui s'écrit d % 2 == 0 en Python. Si ce test est vrai, on ajoute 1 au compteur.
À la fin des n répétitions, le compteur contient le nombre de résultats pairs ; la fréquence est ce nombre divisé par n : on renvoie compteur / n.
Algorithme complété : compteur ← 0 ; répéter n fois : d ← entier aléatoire entre 1 et 6, si d % 2 = 0 alors compteur ← compteur + 1 ; renvoyer compteur / n.
La probabilité théorique d'un résultat pair est 36 = 0,5 : pour n grand, la fréquence renvoyée doit être proche de 0,5. Écrire d % 2 == 1 donnerait la fréquence des impairs, également proche de 0,5.

on utilise randint(1, 6), qui renvoie un entier aléatoire entre 1 et 6 inclus, de façon équiprobable, et un compteur incrémenté à chaque résultat pair :

from random import randint

def frequence_pair(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        d = randint(1, 6)
        if d % 2 == 0:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

La probabilité théorique d'un résultat pair est 36 = 0,5. D'après la loi des grands nombres, frequence_pair(10000) renvoie une valeur proche de 0,5, par exemple 0,4963 ou 0,5041 ; chaque exécution donne un résultat différent.
Points de vigilance : initialiser le compteur avant la boucle, tirer un nouveau d à chaque tour (et non une seule fois avant la boucle), et diviser par n et non par 6. La fonction s'adapte à tout événement en changeant la condition du if.

a) Les deux dés donnent 6 × 6 = 36 couples équiprobables. La somme vaut 7 pour les couples (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1), soit 6 couples : P(somme = 7) = 636 = 16 ≈ 0,167. C'est la somme la plus probable ; la somme 2, par exemple, n'a qu'un couple, (1 ; 1).
b) On compte les appels de deux_des() qui renvoient 7 :

def frequence_sept(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if deux_des() == 7:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

c) Pour n grand, la fréquence renvoyée est proche de 16 ≈ 0,167 : par exemple 0,1692 pour n = 10 000. La simulation retrouve la valeur théorique, sans la remplacer : le tableau donne la probabilité exacte, la simulation une estimation qui fluctue.
Piège classique : penser qu'une somme est aussi probable qu'une autre parce qu'il y a 11 sommes possibles. Les sommes ne sont pas équiprobables, ce sont les 36 couples qui le sont.

les 1 000 lancers suivants sont de nouvelles expériences aléatoires, indépendantes des précédentes : la pièce n'a pas de mémoire, et chaque lancer redonne pile avec probabilité 0,5 quels que soient les résultats passés. Le nombre de piles à venir est lui-même aléatoire.
Obtenir exactement 500 piles sur 1 000 lancers est un événement possible mais peu probable (environ 2,5 % des séries) : la plupart des séries donnent un nombre de piles proche de 500 sans l'égaler, par exemple 487 ou 516.
Ce que l'on peut prévoir : la fréquence de pile sur les 1 000 lancers suivants sera, sauf exception, proche de 0,5, disons entre 0,47 et 0,53. C'est le contenu de la loi des grands nombres : une proximité habituelle entre fréquence et probabilité pour une grande taille, pas une égalité ni une prédiction exacte.
Erreur à éviter : croire qu'après une série de piles, le hasard « compense » en donnant plus de faces ; l'équilibrage ne se fait que par dilution dans un très grand nombre de lancers.