Exercices corrigés — Ensembles, logique et raisonnement (Seconde)

a) Vraie. Le carré d'un réel est le produit de deux nombres de même signe (ou nul), donc il est positif ou nul. Une propriété universelle se démontre par un raisonnement général, pas par des exemples.
b) Fausse. Les carrés des entiers voisins sont 3² = 9 et 4² = 16 : aucun entier n'a pour carré 10, car les carrés d'entiers augmentent et sautent de 9 à 16. Pour réfuter une existence, il faut vérifier qu'aucun élément ne convient.
c) Vraie. n² + n = n(n + 1) est le produit de deux entiers consécutifs, dont l'un est pair ; un produit ayant un facteur pair est pair. On peut aussi raisonner par disjonction de cas : si n est pair, n² et n sont pairs, leur somme aussi ; si n est impair, n² et n sont impairs, et une somme de deux impairs est paire.
d) Fausse. C'est la négation de a), qui est vraie : aucun réel n'a un carré strictement négatif. Une proposition et sa négation ont toujours des valeurs de vérité opposées.

la proposition affirme que tout réel dont le carré vaut 9 est égal à 3. Elle est fausse : x = −3 vérifie (−3)² = 9 mais −3 ≠ 3. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une implication.
En revanche, la réciproque « si x = 3, alors x² = 9 » est vraie : il suffit de remplacer x par 3.
Proposition correcte : x² = 9 ⇔ (x = 3 ou x = −3). Les deux nombres 3 et −3 sont exactement ceux dont le carré vaut 9, car x² − 9 = (x − 3)(x + 3) s'annule si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Moralité : « passer à la racine carrée » dans une équation ne donne pas une seule valeur mais deux, opposées, lorsque le second membre est strictement positif.