Exercices corrigés — Ensembles, logique et raisonnement (Seconde)

A ∩ B rassemble les éléments communs aux deux ensembles : 0 et 2 sont dans A et dans B, alors que −2 et 4 ne sont pas dans B et que 1 n'est pas dans A. Donc A ∩ B = {0 ; 2}.
A ∪ B rassemble les éléments qui sont dans A ou dans B, chacun écrit une seule fois : A ∪ B = {−2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4}. On vérifie la formule Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 4 + 3 − 2 = 5.
A × B est l'ensemble des couples (a ; b) avec a dans A et b dans B : chaque élément de A peut être associé à chacun des 3 éléments de B, ce qui donne Card(A × B) = 4 × 3 = 12 couples, par exemple (−2 ; 0), (−2 ; 1), …, (4 ; 2).
Attention : (0 ; 2) et (2 ; 0) sont deux couples différents de A × B, alors que {0 ; 2} est un seul ensemble.

on regarde la valeur du nombre, pas la forme sous laquelle il est écrit.
a) −72 = −3,5 : écriture décimale finie, mais ce n'est pas un entier ; −72 ∈ 𝔻. (Il est aussi dans ℚ et ℝ, mais 𝔻 est le plus petit.)
b) 0,75 a une écriture décimale finie : 0,75 ∈ 𝔻. C'est aussi 34.
c) √25 = 5 : c'est un entier naturel, √25 ∈ ℕ.
d) 43 = 1,333… : l'écriture décimale ne s'arrête jamais, donc 43 ∉ 𝔻 ; c'est un quotient d'entiers, 43 ∈ ℚ.
e) √3 n'est pas un quotient d'entiers (nombre irrationnel, comme √2) : √3 ∈ ℝ mais √3 ∉ ℚ.
f) 10⁻² = 0,01 : écriture décimale finie, 10⁻² ∈ 𝔻. Rappel des inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

a) La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ». La négation de x > −2 est x ≤ −2, celle de x ≤ 5 est x > 5. Donc la négation est : « x ≤ −2 ou x > 5 ».
Interprétation : la proposition de départ signifie x ∈ ]−2 ; 5] ; sa négation signifie que x est en dehors de cet intervalle, d'un côté ou de l'autre. Le « ou » est indispensable : un réel ne peut pas être à la fois inférieur à −2 et supérieur à 5.
b) La négation de « tous les éléments ont la propriété P » est « il existe au moins un élément qui n'a pas P » : « il existe au moins un élève qui n'a pas réussi ».
Il serait faux de dire « aucun élève n'a réussi » : pour contredire « tous », un seul contre-exemple suffit.

a) A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} et B = {3 ; 6}.
b) A ∩ B = {6}, seul nombre de E à la fois pair et multiple de 3. A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8}, le 6 n'étant écrit qu'une fois. E \ A est l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A : les impairs, {1 ; 3 ; 5 ; 7}. E \ (A ∪ B) = {1 ; 5 ; 7} : les nombres de E ni pairs ni multiples de 3.
c) Card(A) = 4, Card(B) = 2, Card(A ∩ B) = 1, donc Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 4 + 2 − 1 = 5 = Card(A ∪ B). En additionnant 4 et 2, l'élément 6 est compté deux fois ; on le retranche une fois.
Remarque : Card(E \ (A ∪ B)) = 8 − 5 = 3, cohérent avec {1 ; 5 ; 7}.

a) Vraie. Le carré d'un réel est le produit de deux nombres de même signe (ou nul), donc il est positif ou nul. Une propriété universelle se démontre par un raisonnement général, pas par des exemples.
b) Fausse. Les carrés des entiers voisins sont 3² = 9 et 4² = 16 : aucun entier n'a pour carré 10, car les carrés d'entiers augmentent et sautent de 9 à 16. Pour réfuter une existence, il faut vérifier qu'aucun élément ne convient.
c) Vraie. n² + n = n(n + 1) est le produit de deux entiers consécutifs, dont l'un est pair ; un produit ayant un facteur pair est pair. On peut aussi raisonner par disjonction de cas : si n est pair, n² et n sont pairs, leur somme aussi ; si n est impair, n² et n sont impairs, et une somme de deux impairs est paire.
d) Fausse. C'est la négation de a), qui est vraie : aucun réel n'a un carré strictement négatif. Une proposition et sa négation ont toujours des valeurs de vérité opposées.

la proposition affirme que tout réel dont le carré vaut 9 est égal à 3. Elle est fausse : x = −3 vérifie (−3)² = 9 mais −3 ≠ 3. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une implication.
En revanche, la réciproque « si x = 3, alors x² = 9 » est vraie : il suffit de remplacer x par 3.
Proposition correcte : x² = 9 ⇔ (x = 3 ou x = −3). Les deux nombres 3 et −3 sont exactement ceux dont le carré vaut 9, car x² − 9 = (x − 3)(x + 3) s'annule si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Moralité : « passer à la racine carrée » dans une équation ne donne pas une seule valeur mais deux, opposées, lorsque le second membre est strictement positif.

a) Vraie : si x > 3, alors x est strictement positif et x × x > 3 × 3 (on multiplie membre à membre deux inégalités entre nombres strictement positifs), donc x² > 9.
b) Réciproque : « si x² > 9, alors x > 3 ». Elle est fausse : x = −4 donne x² = 16 > 9 alors que −4 < 3.
c) Contraposée : « si x² ≤ 9, alors x ≤ 3 ». Elle a la même valeur de vérité que l'implication de départ, donc elle est vraie. On peut le voir directement : si x > 3, on aurait x² > 9 d'après a), ce qui contredit x² ≤ 9.
d) x² > 9 ⇔ (x > 3 ou x < −3). En effet x² − 9 = (x − 3)(x + 3) est strictement positif quand les deux facteurs sont de même signe, c'est-à-dire pour x > 3 (les deux positifs) ou x < −3 (les deux négatifs). Vocabulaire : x > 3 est une condition suffisante, mais pas nécessaire, pour avoir x² > 9.

démontrer directement est difficile : de « n² est pair », on ne tire pas immédiatement la parité de n. On démontre plutôt la contraposée, qui a la même valeur de vérité : « si n est impair, alors n² est impair ».
Soit n un entier impair. Par définition, il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.
Le nombre 2k² + 2k est un entier, donc n² est de la forme 2q + 1 : il est impair.
La contraposée est vraie, donc l'implication de départ est vraie : si n² est pair, alors n est pair. Comme la réciproque (« si n est pair, alors n² est pair ») est aussi vraie, on a l'équivalence : n² est pair ⇔ n est pair.