Ensembles, logique et raisonnement — cours de Seconde
Ensembles et appartenance, Inclusion, réunion, intersection et complémentaire, Couples et produit cartésien, Propositions, négation et connecteurs Lecture ≈ 5 min.
Le vocabulaire ensembliste et logique est transversal : il sert dans tous les chapitres. Une notation précise évite les ambiguïtés et permet de rédiger des raisonnements courts.
1. Ensembles et appartenance
- Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments.
- x appartient à E s'écrit x ∈ E. Le contraire s'écrit x ∉ E.
- L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté ∅.
- Un ensemble fini peut être donné en extension : A = {1 ; 3 ; 5}.
- Son cardinal, noté Card(A), est son nombre d'éléments. Ici Card(A) = 3.
| Notation | Nom | Exemples et description |
|---|---|---|
| ℕ | entiers naturels | 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... |
| ℤ | entiers relatifs | ... ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ... |
| 𝔻 | nombres décimaux | écriture décimale finie : 2,75 ; −0,04 ; 7 |
| ℚ | nombres rationnels | quotients ab avec a ∈ ℤ, b ∈ ℤ et b ≠ 0 |
| ℝ | nombres réels | toutes les abscisses de la droite numérique, dont √2 et π |
On a les inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Classer −4 ; 0,125 ; 23 ; √9 ; √2 dans le plus petit ensemble possible.
- −4 est entier relatif mais pas naturel : −4 ∈ ℤ.
- 0,125 a une écriture décimale finie : 0,125 ∈ 𝔻.
- 23 est rationnel et son écriture décimale n'est pas finie : 23 ∈ ℚ.
- √9 = 3, donc √9 ∈ ℕ.
- √2 est irrationnel : √2 ∈ ℝ mais √2 ∉ ℚ.
2. Inclusion, réunion, intersection et complémentaire
- A est un sous-ensemble de E, ou A est inclus dans E, si tout élément de A appartient à E. On écrit A ⊂ E.
- A ∩ B est l'intersection : les éléments appartenant à A et à B.
- A ∪ B est la réunion : les éléments appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux.
- Le complémentaire de A dans E, noté E \ A (ou Ā en probabilités), contient les éléments de E qui ne sont pas dans A.
Dans E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, on pose A = {2 ; 4 ; 6} et B = {2 ; 3 ; 5}.
- A ∩ B = {2}, car 2 est le seul élément commun.
- A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. On n'écrit 2 qu'une seule fois.
- E \ A = {1 ; 3 ; 5}.
- Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 3 + 3 − 1 = 5.
3. Couples et produit cartésien
Le produit cartésien A × B est l'ensemble des couples (a ; b) tels que a ∈ A et b ∈ B. L'ordre compte : en général (a ; b) ≠ (b ; a).
Si A = {1 ; 2} et B = {a ; b ; c}, alors A × B = {(1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c)}. Il contient 2 × 3 = 6 couples.
4. Propositions, négation et connecteurs
Une proposition mathématique est une phrase dont on peut décider si elle est vraie ou fausse.
- « P et Q » est vraie seulement si P et Q sont toutes deux vraies.
- « P ou Q » est vraie si au moins l'une des deux est vraie. En mathématiques, ce « ou » est inclusif.
- La négation de P est la proposition « non P », vraie exactement quand P est fausse.
| Proposition | Négation |
|---|---|
| x = 3 | x ≠ 3 |
| x < 3 | x ≥ 3 |
| x ≤ 3 | x > 3 |
| x ∈ A ∩ B | x ∉ A ou x ∉ B |
| x ∈ A ∪ B | x ∉ A et x ∉ B |
5. Implication, réciproque, contraposée et équivalence
- « Si P, alors Q » est une implication, notée P ⇒ Q. P est une condition suffisante pour Q ; Q est nécessaire pour P.
- Sa réciproque est Q ⇒ P. Elle peut être fausse même si l'implication est vraie.
- Sa contraposée est « non Q ⇒ non P ». Elle a toujours la même valeur de vérité que P ⇒ Q.
- Si P ⇒ Q et Q ⇒ P sont vraies, on a une équivalence P ⇔ Q : « P si et seulement si Q ».
Implication : « Si n est multiple de 4, alors n est pair. » Elle est vraie, car n = 4k = 2(2k).
Réciproque : « Si n est pair, alors n est multiple de 4. » Elle est fausse : n = 6 est un contre-exemple.
Contraposée : « Si n n'est pas pair, alors n n'est pas multiple de 4. » Elle est vraie.
6. Quantification en langage courant et raisonnements
- « Pour tout réel x, ... » affirme une propriété universelle.
- « Il existe au moins un réel x tel que ... » affirme une existence.
- La négation de « tous les éléments ont P » est « il existe au moins un élément qui n'a pas P ».
- La négation de « il existe un élément ayant P » est « aucun élément n'a P ».
Limite du programme : les symboles formels de quantification ne sont pas exigibles en Seconde ; on privilégie les formulations en français.
- Preuve directe : partir des hypothèses et enchaîner des propriétés justifiées.
- Contre-exemple : un seul cas contraire suffit à réfuter une affirmation universelle.
- Disjonction de cas : examiner tous les cas possibles, par exemple n pair ou n impair.
- Raisonnement par l'absurde : supposer le contraire du résultat, puis obtenir une contradiction.
Montrons que n(n + 1) est pair pour tout entier n.
- Si n est pair, n = 2k, donc n(n + 1) = 2k(n + 1), qui est pair.
- Si n est impair, n = 2k + 1, alors n + 1 = 2(k + 1), donc n(n + 1) = 2n(k + 1), qui est pair.
Les deux cas couvrent tous les entiers : la propriété est démontrée.
- Confondre ∈ et ⊂ : 2 ∈ ℕ, tandis que {2} ⊂ ℕ.
- Croire que « ou » exclut le cas où les deux propriétés sont vraies.
- Prendre la réciproque pour une conséquence automatique.
- Essayer de prouver une règle générale avec quelques exemples : des exemples illustrent, ils ne démontrent pas.