Exercices corrigés — Ensembles, logique et raisonnement (Seconde)

a) Vraie : si x > 3, alors x est strictement positif et x × x > 3 × 3 (on multiplie membre à membre deux inégalités entre nombres strictement positifs), donc x² > 9.
b) Réciproque : « si x² > 9, alors x > 3 ». Elle est fausse : x = −4 donne x² = 16 > 9 alors que −4 < 3.
c) Contraposée : « si x² ≤ 9, alors x ≤ 3 ». Elle a la même valeur de vérité que l'implication de départ, donc elle est vraie. On peut le voir directement : si x > 3, on aurait x² > 9 d'après a), ce qui contredit x² ≤ 9.
d) x² > 9 ⇔ (x > 3 ou x < −3). En effet x² − 9 = (x − 3)(x + 3) est strictement positif quand les deux facteurs sont de même signe, c'est-à-dire pour x > 3 (les deux positifs) ou x < −3 (les deux négatifs). Vocabulaire : x > 3 est une condition suffisante, mais pas nécessaire, pour avoir x² > 9.

démontrer directement est difficile : de « n² est pair », on ne tire pas immédiatement la parité de n. On démontre plutôt la contraposée, qui a la même valeur de vérité : « si n est impair, alors n² est impair ».
Soit n un entier impair. Par définition, il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.
Le nombre 2k² + 2k est un entier, donc n² est de la forme 2q + 1 : il est impair.
La contraposée est vraie, donc l'implication de départ est vraie : si n² est pair, alors n est pair. Comme la réciproque (« si n est pair, alors n² est pair ») est aussi vraie, on a l'équivalence : n² est pair ⇔ n est pair.