Exercices corrigés — Ensembles, logique et raisonnement (Seconde)

a) La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ». La négation de x > −2 est x ≤ −2, celle de x ≤ 5 est x > 5. Donc la négation est : « x ≤ −2 ou x > 5 ».
Interprétation : la proposition de départ signifie x ∈ ]−2 ; 5] ; sa négation signifie que x est en dehors de cet intervalle, d'un côté ou de l'autre. Le « ou » est indispensable : un réel ne peut pas être à la fois inférieur à −2 et supérieur à 5.
b) La négation de « tous les éléments ont la propriété P » est « il existe au moins un élément qui n'a pas P » : « il existe au moins un élève qui n'a pas réussi ».
Il serait faux de dire « aucun élève n'a réussi » : pour contredire « tous », un seul contre-exemple suffit.

a) A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} et B = {3 ; 6}.
b) A ∩ B = {6}, seul nombre de E à la fois pair et multiple de 3. A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8}, le 6 n'étant écrit qu'une fois. E \ A est l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A : les impairs, {1 ; 3 ; 5 ; 7}. E \ (A ∪ B) = {1 ; 5 ; 7} : les nombres de E ni pairs ni multiples de 3.
c) Card(A) = 4, Card(B) = 2, Card(A ∩ B) = 1, donc Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 4 + 2 − 1 = 5 = Card(A ∪ B). En additionnant 4 et 2, l'élément 6 est compté deux fois ; on le retranche une fois.
Remarque : Card(E \ (A ∪ B)) = 8 − 5 = 3, cohérent avec {1 ; 5 ; 7}.