Exercices corrigés — Ensembles, logique et raisonnement (Seconde)

A ∩ B rassemble les éléments communs aux deux ensembles : 0 et 2 sont dans A et dans B, alors que −2 et 4 ne sont pas dans B et que 1 n'est pas dans A. Donc A ∩ B = {0 ; 2}.
A ∪ B rassemble les éléments qui sont dans A ou dans B, chacun écrit une seule fois : A ∪ B = {−2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4}. On vérifie la formule Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 4 + 3 − 2 = 5.
A × B est l'ensemble des couples (a ; b) avec a dans A et b dans B : chaque élément de A peut être associé à chacun des 3 éléments de B, ce qui donne Card(A × B) = 4 × 3 = 12 couples, par exemple (−2 ; 0), (−2 ; 1), …, (4 ; 2).
Attention : (0 ; 2) et (2 ; 0) sont deux couples différents de A × B, alors que {0 ; 2} est un seul ensemble.

on regarde la valeur du nombre, pas la forme sous laquelle il est écrit.
a) −72 = −3,5 : écriture décimale finie, mais ce n'est pas un entier ; −72 ∈ 𝔻. (Il est aussi dans ℚ et ℝ, mais 𝔻 est le plus petit.)
b) 0,75 a une écriture décimale finie : 0,75 ∈ 𝔻. C'est aussi 34.
c) √25 = 5 : c'est un entier naturel, √25 ∈ ℕ.
d) 43 = 1,333… : l'écriture décimale ne s'arrête jamais, donc 43 ∉ 𝔻 ; c'est un quotient d'entiers, 43 ∈ ℚ.
e) √3 n'est pas un quotient d'entiers (nombre irrationnel, comme √2) : √3 ∈ ℝ mais √3 ∉ ℚ.
f) 10⁻² = 0,01 : écriture décimale finie, 10⁻² ∈ 𝔻. Rappel des inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.