Exercices corrigés — Trigonométrie (Première)

a) On cherche les points du cercle d'ordonnée 12. L'angle repère est π6, car sin(π6) = 12 ; le second point, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, correspond à π − π6 = 5π/6. Sur [0 ; 2π[, les solutions sont π6 et 5π/6.
b) Les points d'abscisse nulle sont les intersections du cercle avec l'axe des ordonnées : (0 ; 1) et (0 ; −1), associés à π2 et 3π/2. Solutions : π2 et 3π/2.
c) Un seul point du cercle a pour ordonnée −1 : le point (0 ; −1), associé à 3π/2. Solution unique sur [0 ; 2π[ : 3π/2.
Méthode : dessiner le cercle, tracer la droite horizontale (pour un sinus) ou verticale (pour un cosinus) correspondant à la valeur, lire les points d'intersection, puis ne garder que les réels de l'intervalle demandé. Une valeur strictement comprise entre −1 et 1 donne deux points, les valeurs ±1 un seul.

d'après cos² x + sin² x = 1, on a cos² x = 1 − (13)² = 1 − 19 = 89.
Donc cos x = √89 ou cos x = −√89. Or √89 = √83 = 2√2/3, puisque √8 = √4 × 2 = 2√2.
x ∈ [π2 ; π] : le point associé est dans le deuxième quadrant, où l'abscisse est négative, donc cos x < 0.
Conclusion : cos x = −2√2/3 ≈ −0,943. Vérification : (−2√2/3)² + (13)² = 89 + 19 = 1. On garde la valeur exacte avec le radical, comme demandé ; la valeur décimale n'est qu'un contrôle.