Trigonométrie — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 14 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Radian et cercle trigonométrique
Définition
Le radian est l'unité naturelle de mesure des angles. Sur un cercle de rayon 1, l'arc orienté possède une mesure algébrique x : son signe indique le sens du parcours. Sa longueur géométrique, toujours positive ou nulle, vaut |x|. Un tour complet mesure 2π radians, soit 360°.
Conversion
180° = π rad ; angle en radians = angle en degrés × π180.
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | π | 2π |
Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Au réel x, on associe le point M obtenu en parcourant une longueur orientée x depuis I(1 ; 0). Les coordonnées de M sont (cos x ; sin x).
2. Valeurs remarquables
| x | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
Démonstration des valeurs en π/4
Dans un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse 1, les deux côtés de l'angle droit ont une même longueur a. Par Pythagore, 2a2 = 1, donc a = √22. Pour l'angle de 45° = π4, le côté adjacent et le côté opposé valent donc tous deux √22 : cos(π4) = sin(π4) = √22.
Démonstration des valeurs en π/3 et π/6
Dans un triangle équilatéral de côté 1, une hauteur partage la base en deux segments de longueur 12 et forme un triangle rectangle. Par Pythagore, sa hauteur vaut √1 − 14 = √32. Pour l'angle de 60° = π3, cos(π3) = 12 et sin(π3) = √32. Les valeurs en π6 s'obtiennent avec l'angle complémentaire : cos(π6) = √32 et sin(π6) = 12.
Relation fondamentale
Pour tout réel x,
cos2 x + sin2 x = 1.
Démonstration : le point M(cos x ; sin x) appartient au cercle de centre O et de rayon 1, dont l'équation est X2 + Y2 = 1.
3. Périodicité et symétries
Formules
Pour tout réel x et tout entier k :
- cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x ;
- cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x ;
- cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x ;
- cos(π + x) = −cos x et sin(π + x) = −sin x.
4. Anticipation Terminale – Équations trigonométriques générales
Solutions générales
Pour des réels x et a :
- cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, k ∈ ℤ ;
- sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, k ∈ ℤ.
5. Anticipation Terminale – Variations et dérivées trigonométriques
Propriétés
- sin et cos sont définies et dérivables sur ℝ.
- Elles sont 2π-périodiques et prennent leurs valeurs dans [−1 ; 1].
- cos est paire ; sin est impaire.
- (cos x)' = −sin x et (sin x)' = cos x.
Variations sur une période
Sur [0 ; 2π], cos décroît de 1 à −1 sur [0 ; π], puis croît de −1 à 1 sur [π ; 2π]. Le sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; π2], décroît de 1 à −1 sur [π2 ; 3π/2], puis croît de −1 à 0 sur [3π/2 ; 2π]. Ces variations se déduisent du signe de leurs dérivées.
6. Anticipation Terminale – Modèle sinusoïdal
Modèle sinusoïdal
Une grandeur de la forme f(t) = m + A cos(ωt + φ), avec A ≠ 0 et ω ≠ 0, oscille autour de la valeur moyenne m, avec amplitude |A| et période fondamentale T = 2π/|ω|. Le paramètre φ décale le phénomène dans le temps. Si A = 0, la fonction est constante et n'a pas de période fondamentale ; si ω = 0, elle est encore constante.
7. Anticipation Terminale – Formules d'addition
Approfondissement utile, non exigible en Première
Les formules suivantes permettent de transformer certaines expressions :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Elles entraînent cos(2a) = cos2 a − sin2 a et sin(2a) = 2 sin a cos a. Elles ne doivent pas masquer les attendus de Première : radian, enroulement sur le cercle, sinus et cosinus d'un réel, valeurs remarquables, relation cos2 x + sin2 x = 1, périodicité et symétries.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Statut de cette section
Le repérage de points sur le cercle et la résolution de quelques cas directs peuvent servir d'entraînement. Les familles générales de solutions ci-dessous et les équations avec une expression telle que 2x constituent une anticipation de Terminale : elles ne font pas partie des capacités centrales exigibles en Première dans le programme 2026.
Méthode 2Méthode sur un intervalle
- Repérer les points du cercle ayant l'abscisse demandée pour un cosinus, l'ordonnée demandée pour un sinus.
- Écrire les familles de solutions.
- Ne conserver que celles appartenant à l'intervalle imposé.
Méthode 3Statut de cette section
La parité et la périodicité se lisent déjà sur le cercle. En revanche, l'étude systématique des fonctions sinus et cosinus, leurs dérivées et leurs tableaux de variations sont présentés ici uniquement comme anticipation de Terminale.
Méthode 4Statut de cette section
La modélisation sinusoïdale détaillée n'est pas un attendu central de Première. Elle illustre la périodicité et prépare des usages ultérieurs.
Méthode 5À éviter
- Mélanger degrés et radians sur la calculatrice.
- Écrire sin(2x) = 2 sin x ou cos(2x) = 2 cos x.
- Oublier la seconde famille de solutions d'une équation trigonométrique.
- Oublier de filtrer les solutions selon l'intervalle demandé.
- Confondre cos2 x, qui signifie (cos x)2, avec cos(x2).
- Affirmer que sin et cos sont monotones sur ℝ alors qu'elles sont périodiques.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés