Exercices corrigés — Trigonométrie (Première)

on cherche les points du cercle d'abscisse −√22. La valeur √22 est celle de cos(π4) ; l'abscisse est ici négative, donc les points sont dans les deuxième et troisième quadrants, symétriques de π4 par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine.
Deuxième quadrant : x = π − π4 = 3π/4, et cos(3π/4) = −cos(π4) = −√22. Troisième quadrant : x = π + π4 = 5π/4, et cos(5π/4) = −cos(π4) = −√22.
Sur [0 ; 2π[, les solutions sont 3π/4 et 5π/4. Les deux points ont la même abscisse et des ordonnées opposées (√22 et −√22) : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Sur ℝ tout entier, on ajouterait tous les multiples de 2π : x = 3π/4 + 2kπ ou x = 5π/4 + 2kπ, k entier ; l'intervalle imposé ne retient que k = 0.

f est dérivable sur [0 ; π] et, avec (sin x)' = cos x, f'(x) = 2 cos x + 1.
f'(x) = 0 équivaut à cos x = −12. Sur [0 ; π], le cosinus prend chaque valeur de [−1 ; 1] une seule fois, et cos(2π/3) = −12 : l'unique solution est x = 2π/3.
Signe : sur [0 ; π], le cosinus est décroissant, donc cos x > −12 pour x < 2π/3 et cos x < −12 pour x > 2π/3. Ainsi f' > 0 sur [0 ; 2π/3[ et f' < 0 sur ]2π/3 ; π].
f est croissante sur [0 ; 2π/3] puis décroissante sur [2π/3 ; π]. Valeurs : f(0) = 0 ; f(2π/3) = 2 sin(2π/3) + 2π/3 = 2 × √32 + 2π/3 = √3 + 2π/3 ≈ 3,83, maximum ; f(π) = 2 sin π + π = π ≈ 3,14. Le minimum sur l'intervalle est f(0) = 0.