Exercices corrigés — Trigonométrie (Première)

la conversion utilise la proportionnalité 180° = π rad : 225° = 225 × π180 = 225π/180 = 5π/4 rad (on simplifie la fraction par 45).
Pour placer le point : 5π/4 = π + π4. Le point associé s'obtient à partir de celui de π4 par un demi-tour ; il est dans le troisième quadrant, où l'abscisse et l'ordonnée sont négatives.
Les formules cos(π + a) = −cos a et sin(π + a) = −sin a donnent cos(5π/4) = −cos(π4) = −√22 et sin(5π/4) = −sin(π4) = −√22.
Vérification : cos² + sin² = 24 + 24 = 1. Les deux coordonnées sont égales, comme pour tout point de la diagonale y = x du repère.

en radians, on multiplie la mesure en degrés par π180 et l'on simplifie : 150° = 150π/180 = 5π/6 ; 40° = 40π/180 = 2π/9 ; 270° = 270π/180 = 3π/2.
En degrés, on multiplie la mesure en radians par 180π : 7π/6 = 7 × 180°/6 = 7 × 30° = 210° ; 5π/4 = 5 × 45° = 225° ; π12 = 180°/12 = 15°.
Repères utiles : π6 = 30°, π4 = 45°, π3 = 60°, π2 = 90°. Une mesure comme 2π/9 ne correspond à aucun angle remarquable : le radian s'utilise aussi pour des angles quelconques.
Ordre de grandeur : 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°, un peu moins qu'un angle de 60°.

deux réels qui diffèrent d'un multiple de 2π correspondent au même point du cercle : on ajoute ou retranche 2π autant de fois que nécessaire pour arriver dans ]−π ; π].
a) 17π/4 − 2 × 2π = 17π/4 − 16π/4 = π4. Le point est celui de π4, de coordonnées (√22 ; √22), dans le premier quadrant.
b) −7π/3 + 2π = −7π/3 + 6π/3 = −π3. Coordonnées : (cos(−π3) ; sin(−π3)) = (12 ; −√32), dans le quatrième quadrant.
c) 19π/6 − 2π = 7π/6, qui n'est pas dans ]−π ; π] car 7π/6 > π ; on retranche encore 2π : 7π/6 − 12π/6 = −5π/6. Comme −5π/6 = −π + π6, le point est le symétrique de celui de π6 par rapport à l'origine : (−√32 ; −12), dans le troisième quadrant.

la relation fondamentale cos² x + sin² x = 1 donne sin² x = 1 − (−35)² = 1 − 925 = 1625.
Deux réels ont pour carré 1625 : 45 et −45. Pour choisir, on regarde le quadrant : x ∈ [π ; 3π/2] correspond au troisième quadrant, où le point du cercle a une ordonnée négative, donc sin x < 0.
Ainsi sin x = −45. Le point associé à x a pour coordonnées (−35 ; −45) : on reconnaît le triplet 3-4-5, et l'on vérifie que ce point est sur le cercle de rayon 1.
Sans l'information sur l'intervalle, il y aurait eu deux réponses possibles ; la relation fondamentale ne donne le sinus qu'au signe près.

a) On cherche les points du cercle d'ordonnée 12. L'angle repère est π6, car sin(π6) = 12 ; le second point, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, correspond à π − π6 = 5π/6. Sur [0 ; 2π[, les solutions sont π6 et 5π/6.
b) Les points d'abscisse nulle sont les intersections du cercle avec l'axe des ordonnées : (0 ; 1) et (0 ; −1), associés à π2 et 3π/2. Solutions : π2 et 3π/2.
c) Un seul point du cercle a pour ordonnée −1 : le point (0 ; −1), associé à 3π/2. Solution unique sur [0 ; 2π[ : 3π/2.
Méthode : dessiner le cercle, tracer la droite horizontale (pour un sinus) ou verticale (pour un cosinus) correspondant à la valeur, lire les points d'intersection, puis ne garder que les réels de l'intervalle demandé. Une valeur strictement comprise entre −1 et 1 donne deux points, les valeurs ±1 un seul.

d'après cos² x + sin² x = 1, on a cos² x = 1 − (13)² = 1 − 19 = 89.
Donc cos x = √89 ou cos x = −√89. Or √89 = √83 = 2√2/3, puisque √8 = √4 × 2 = 2√2.
x ∈ [π2 ; π] : le point associé est dans le deuxième quadrant, où l'abscisse est négative, donc cos x < 0.
Conclusion : cos x = −2√2/3 ≈ −0,943. Vérification : (−2√2/3)² + (13)² = 89 + 19 = 1. On garde la valeur exacte avec le radical, comme demandé ; la valeur décimale n'est qu'un contrôle.

on cherche les points du cercle d'abscisse −√22. La valeur √22 est celle de cos(π4) ; l'abscisse est ici négative, donc les points sont dans les deuxième et troisième quadrants, symétriques de π4 par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine.
Deuxième quadrant : x = π − π4 = 3π/4, et cos(3π/4) = −cos(π4) = −√22. Troisième quadrant : x = π + π4 = 5π/4, et cos(5π/4) = −cos(π4) = −√22.
Sur [0 ; 2π[, les solutions sont 3π/4 et 5π/4. Les deux points ont la même abscisse et des ordonnées opposées (√22 et −√22) : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Sur ℝ tout entier, on ajouterait tous les multiples de 2π : x = 3π/4 + 2kπ ou x = 5π/4 + 2kπ, k entier ; l'intervalle imposé ne retient que k = 0.

f est dérivable sur [0 ; π] et, avec (sin x)' = cos x, f'(x) = 2 cos x + 1.
f'(x) = 0 équivaut à cos x = −12. Sur [0 ; π], le cosinus prend chaque valeur de [−1 ; 1] une seule fois, et cos(2π/3) = −12 : l'unique solution est x = 2π/3.
Signe : sur [0 ; π], le cosinus est décroissant, donc cos x > −12 pour x < 2π/3 et cos x < −12 pour x > 2π/3. Ainsi f' > 0 sur [0 ; 2π/3[ et f' < 0 sur ]2π/3 ; π].
f est croissante sur [0 ; 2π/3] puis décroissante sur [2π/3 ; π]. Valeurs : f(0) = 0 ; f(2π/3) = 2 sin(2π/3) + 2π/3 = 2 × √32 + 2π/3 = √3 + 2π/3 ≈ 3,83, maximum ; f(π) = 2 sin π + π = π ≈ 3,14. Le minimum sur l'intervalle est f(0) = 0.