Exercices corrigés — Multiples, diviseurs et critères de divisibilité (CM2)

Les multiples de 8 sont les résultats des tables : 8 × 1, 8 × 2, 8 × 3, et ainsi de suite.
8 × 1 = 8 ; 8 × 2 = 16 ; 8 × 3 = 24 ; 8 × 4 = 32 ; 8 × 5 = 40.
Réponse : 8, 16, 24, 32, 40.
On peut aussi les obtenir de proche en proche, en ajoutant 8 à chaque fois. Zéro est également un multiple de 8, puisque 8 × 0 = 0 ; on ne le cite pas ici, mais il ne faut pas le compter comme une erreur.

On essaie les nombres dans l'ordre, et l'on note les couples qui donnent 36.
1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6. À partir de 7, on retomberait sur des couples déjà trouvés.
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, soit neuf diviseurs.
La méthode par couples garantit qu'on n'en oublie aucun : on s'arrête dès que les deux facteurs se croisent, ici à 6 × 6. Le 5 ne divise pas 36, car 36 ne se termine ni par 0 ni par 5.

Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres l'est.
258 : 2 + 5 + 8 = 15, et 15 = 3 × 5, donc oui.
375 : 3 + 7 + 5 = 15, donc oui.
1 044 : 1 + 0 + 4 + 4 = 9, et 9 = 3 × 3, donc oui.
902 : 9 + 0 + 2 = 11, qui n'est pas dans la table de 3, donc non.
Réponse : 258, 375 et 1 044 sont divisibles par 3.
Vérification pour le dernier : 902 ÷ 3 donne 300 et il reste 2.

Par 9, on additionne les chiffres : 4 + 5 + 3 + 6 = 18, et 18 = 9 × 2. Donc oui, 4 536 est divisible par 9.
Par 4, on ne regarde que les deux derniers chiffres, car les centaines sont toujours divisibles par 4. Ici ils forment 36, et 36 = 4 × 9. Donc oui également.
Vérification : 4 536 ÷ 9 = 504 et 4 536 ÷ 4 = 1 134, deux divisions sans reste.
Comme le nombre est divisible par 4 et par 9, il l'est aussi par 36, car 4 et 9 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Un nombre multiple de 5 et de 3 est un multiple de 15, car 3 et 5 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
On cherche donc le premier multiple de 15 au-dessus de 100 : 15 × 6 = 90, trop petit ; 15 × 7 = 105, qui convient.
Réponse : 105.
Vérification : 105 se termine par 5, donc il est divisible par 5 ; et 1 + 0 + 5 = 6, multiple de 3, donc il est divisible par 3.

Une taille de paquet convient si elle divise 96 exactement : on cherche donc tous les diviseurs de 96, par couples.
1 × 96, 2 × 48, 3 × 32, 4 × 24, 6 × 16, 8 × 12. Après 8, les facteurs se croisent.
Tailles possibles : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 et 96 photos par paquet.
À chaque taille correspond un nombre de paquets, qui est l'autre membre du couple : par exemple 8 photos par paquet donnent 12 paquets. Les tailles 5, 7, 9 ou 10 ne conviennent pas ; avec 10, par exemple, il resterait 6 photos.

Ces trois critères ne regardent que le chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8 pour 2 ; 0 ou 5 pour 5 ; 0 seulement pour 10.
Par 2 : 1 730 (finit par 0), 3 108 (finit par 8) et 5 000 (finit par 0). 2 465 finit par 5, donc non.
Par 5 : 1 730, 2 465 et 5 000. 3 108 finit par 8, donc non.
Par 10 : 1 730 et 5 000 seulement, les deux qui finissent par 0.
On remarque que les nombres divisibles par 10 sont exactement ceux qui sont divisibles à la fois par 2 et par 5, ce qui est logique puisque 2 × 5 = 10.

Le nombre de bouquets doit diviser 72, pour partager les roses sans reste, et diviser aussi 48, pour les tulipes : c'est un diviseur commun aux deux nombres.
Diviseurs de 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Le plus grand est 24.
Chaque bouquet contient alors 72 ÷ 24 = 3 roses et 48 ÷ 24 = 2 tulipes.
Vérification : 24 × 3 = 72 roses et 24 × 2 = 48 tulipes ; aucune fleur ne reste.