Exercices corrigés — La proportionnalité (CM2)

Le prix est proportionnel au nombre de cahiers : on passe par le prix d'un seul, c'est le retour à l'unité.
Un cahier : 9 ÷ 5 = 1,80 €.
Huit cahiers : 1,80 × 8 = 14,40 €.
Huit cahiers coûtent 14,40 €.
Vérification par ordre de grandeur : 8 cahiers, c'est un peu plus de 5, donc un peu plus de 9 € et moins du double, ce qui est bien le cas.

Un tableau est proportionnel si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre.
Première colonne : 5 ÷ 2 = 2,5. Deuxième colonne : 10 ÷ 4 = 2,5. Troisième colonne : 16 ÷ 6 vaut environ 2,67, ce qui est différent.
Réponse : non, ce tableau n'est pas proportionnel.
Pour qu'il le soit, il faudrait 15 au lieu de 16, car 6 × 2,5 = 15.
Il ne suffit pas que deux colonnes s'accordent : toutes doivent donner le même coefficient.

Prendre t % d'un nombre, c'est le multiplier par t puis diviser par 100.
20 % de 350 = (350 × 20) ÷ 100 = 7 000 ÷ 100 = 70. Autre chemin : 20 %, c'est un cinquième, et 350 ÷ 5 = 70.
75 % de 80 = (80 × 75) ÷ 100 = 6 000 ÷ 100 = 60. Autre chemin : 75 %, ce sont les trois quarts, et les trois quarts de 80 valent 60.
Les pourcentages usuels ont tous un équivalent en fraction : 50 % la moitié, 25 % le quart, 10 % le dixième. Les reconnaître évite bien des calculs.

On calcule d'abord la remise, puis on la retire du prix de départ.
Remise : (120 × 30) ÷ 100 = 3 600 ÷ 100 = 36 €.
Nouveau prix : 120 − 36 = 84 €.
Autre méthode, plus rapide : payer après une remise de 30 %, c'est payer 70 % du prix, et (120 × 70) ÷ 100 = 84 €. Les deux méthodes s'accordent.
Piège : « − 30 % » ne veut pas dire « − 30 € ». La remise dépend du prix de départ.

L'échelle 125 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité.
Distance réelle : 6 × 25 000 = 150 000 cm.
On convertit : 150 000 cm = 1 500 m = 1,5 km, puisque 100 cm font 1 m et 1 000 m font 1 km.
Vérification de bon sens : 1 cm sur la carte vaut 250 m, donc 6 cm valent 6 × 250 = 1 500 m. Une distance réelle est toujours plus grande que la distance sur la carte, jamais l'inverse.

À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée : 120 km par heure.
En 3 h : 120 × 3 = 360 km.
En 15 min : 15 minutes, c'est le quart d'une heure, donc 120 ÷ 4 = 30 km.
Vérification : quatre quarts d'heure donnent 4 × 30 = 120 km, soit bien une heure de trajet.
Piège : ne jamais mélanger les unités. Écrire 120 × 15 reviendrait à calculer une distance en 15 heures, et non en 15 minutes.

La quantité de farine est proportionnelle au nombre de convives.
Retour à l'unité : pour une personne, 300 ÷ 4 = 75 g. Pour six personnes : 75 × 6 = 450 g.
Il faut 450 g de farine.
Autre méthode : on passe de 4 à 6 personnes en multipliant par 1,5, donc 300 × 1,5 = 450 g. Les deux chemins concordent.
Contrôle de bon sens : 6 personnes, c'est une fois et demie 4 personnes, et 450 g est bien une fois et demie 300 g.

Un pourcentage, c'est une part ramenée à 100 : on cherche combien il y aurait de demi-pensionnaires dans un groupe de 100 élèves.
Pour passer de 250 à 100, on divise par 2,5. On divise donc aussi 60 par 2,5 : 60 ÷ 2,5 = 24.
Réponse : 24 % des élèves mangent à la cantine.
Autre méthode : (60 ÷ 250) × 100 = 0,24 × 100 = 24.
Vérification : 24 % de 250 = (250 × 24) ÷ 100 = 60, le nombre de départ.