Exercices corrigés — Comparer, ranger, encadrer et arrondir (CM2)

Pour comparer deux entiers, on regarde d'abord le nombre de chiffres ; à égalité, on compare chiffre par chiffre en partant de la gauche.
90 807 et 90 870 ont cinq chiffres chacun. Les trois premiers sont identiques (9, 0, 8) ; au quatrième rang, 0 est plus petit que 7. Donc 90 807 < 90 870.
145 000 a six chiffres et 98 999 en a cinq : le nombre à six chiffres est forcément le plus grand. Donc 145 000 > 98 999.
Piège : ne pas se fier au premier chiffre seul. Ici 9 est plus grand que 1, et pourtant 98 999 est le plus petit des deux, car il a un chiffre de moins.

On compte d'abord les chiffres : 704 en a trois, 70 040 en a cinq, les trois autres en ont quatre.
Le plus petit est donc 704, le plus grand 70 040.
Il reste à ranger 7 040, 7 400 et 7 004. On les compare au deuxième rang : 4 pour 7 400 contre 0 pour les deux autres, donc 7 400 est le plus grand des trois. Entre 7 040 et 7 004, on compare au troisième rang : 4 contre 0, donc 7 004 < 7 040.
Ordre croissant : 704 < 7 004 < 7 040 < 7 400 < 70 040.
Croissant veut dire du plus petit au plus grand ; le signe < s'ouvre toujours du côté du plus grand.

Encadrer par des centaines, c'est trouver la centaine juste en dessous et la centaine juste au-dessus.
Dans 12 486, il y a 124 centaines entières, car les deux derniers chiffres, 86, ne suffisent pas à faire une centaine de plus. La centaine juste en dessous est donc 12 400, et la suivante 12 500 : 12 400 < 12 486 < 12 500.
De même, il y a 12 milliers entiers, donc 12 000 < 12 486 < 13 000.
Vérification : l'écart entre les deux bornes vaut bien 100 dans le premier cas et 1 000 dans le second, ce qui prouve qu'elles sont consécutives.

Pour arrondir, on regarde le chiffre placé juste à droite du rang demandé : s'il vaut 5 ou plus, on monte à la valeur supérieure ; sinon on garde la valeur inférieure.
À la dizaine : le chiffre des unités est 9, donc on monte. 3 649 s'arrondit à 3 650.
À la centaine : le chiffre des dizaines est 4, plus petit que 5, donc on garde. Réponse : 3 600.
Au millier : le chiffre des centaines est 6, donc on monte. Réponse : 4 000.
Piège : chaque arrondi se calcule sur le nombre de départ, jamais sur l'arrondi précédent. En arrondissant 3 650, puis 3 700, on obtiendrait 4 000 par hasard, mais la méthode serait fausse.

Les graduations se suivent de 10 en 10 : 480, 490, 500, 510, 520.
Le nombre placé juste après 490 est donc 490 + 10 = 500.
Piège : le passage à la centaine ne change rien au pas. On avance toujours de 10, même quand le chiffre des dizaines repart à zéro.

On essaie les arrondis un par un, du plus fin au plus large.
Au millier : le chiffre des centaines est 5, donc on monte à 49 000. Ce n'est pas le nombre du journal.
À la dizaine de milliers : le chiffre des milliers est 8, donc on monte de 40 000 à 50 000. C'est bien le titre.
Réponse : le nombre a été arrondi à la dizaine de milliers.
Le journal perd ainsi près de 1 500 spectateurs dans l'arrondi. Un arrondi large donne un ordre de grandeur, jamais un compte exact.

À la centaine : le chiffre des dizaines est 5, donc on monte. La centaine au-dessus de 7 900 est 8 000. Réponse : 8 000.
Au millier : le chiffre des centaines est 9, donc on monte aussi. Le millier au-dessus de 7 000 est 8 000. Réponse : 8 000.
Les deux arrondis donnent le même résultat, ce qui est normal : 7 950 est très proche de 8 000, à 50 unités près.
Piège : quand on monte d'une centaine à partir de 7 900, le chiffre des milliers change lui aussi. La réponse n'est ni 7 900 ni 79 000.

Les nombres cherchés sont ceux dont l'arrondi ne descend pas à 3 300 et ne monte pas à 3 500.
Le plus petit : pour monter jusqu'à 3 400 depuis 3 300, il faut que le chiffre des dizaines soit au moins 5. Le plus petit tel nombre est 3 350.
Le plus grand : pour ne pas monter à 3 500, il faut que le chiffre des dizaines reste inférieur à 5. Le plus grand tel nombre est 3 449.
Réponse : tous les entiers de 3 350 à 3 449 s'arrondissent à 3 400, soit 100 nombres en tout.
Vérification : 3 349 s'arrondit à 3 300 et 3 450 s'arrondit à 3 500 ; les deux bornes trouvées sont donc les bonnes.