Exercices corrigés — Aires et volumes (CM2)

Pour les aires, chaque changement d'unité vaut cent fois, et non dix : un carré de 1 m de côté mesure 100 cm sur 100 cm, soit 10 000 cm².
3 m² = 3 × 10 000 = 30 000 cm².
45 000 cm² = 45 000 ÷ 10 000 = 4,5 m².
2 ha = 2 × 10 000 = 20 000 m², car un hectare est un carré de 100 m de côté.
Piège : appliquer la règle des longueurs et multiplier par 100 au lieu de 10 000 donne un résultat cent fois trop petit.

L'aire mesure la surface couverte : A = L × l.
A = 15 × 8 = 120 cm².
Le périmètre mesure le tour : P = (L + l) × 2 = (15 + 8) × 2 = 23 × 2 = 46 cm.
Les deux résultats ne se comparent pas : l'un est une surface en cm², l'autre une longueur en cm. Deux rectangles peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes, comme 15 × 8 et 20 × 3, qui ont tous deux un périmètre de 46 cm mais des aires de 120 et 60 cm².

Un triangle occupe la moitié d'un rectangle de même base et de même hauteur : A = (base × hauteur) ÷ 2.
A = (12 × 5) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm².
Piège : la hauteur d'un triangle n'est pas un de ses côtés, sauf dans un triangle rectangle. C'est le segment tracé depuis un sommet, perpendiculairement au côté opposé.
Sans la division par 2, on obtiendrait l'aire du rectangle entier, soit le double du résultat cherché.

Aire : A = 40 × 25 = 1 000 m².
Un are vaut 100 m², c'est-à-dire un carré de 10 m de côté. On divise donc par 100 : 1 000 ÷ 100 = 10 ares.
Vérification : 10 ares représentent un dixième d'hectare, puisqu'un hectare vaut 100 ares, soit 10 000 m².
Les ares et les hectares servent aux terrains ; ce sont d'autres noms pour le dam² et le hm².

Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : V = L × l × h.
V = 60 × 30 × 40 = 1 800 × 40 = 72 000 cm³.
Pour passer aux litres, on se souvient que 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.
72 000 ÷ 1 000 = 72 L.
Autre chemin : convertir d'abord les longueurs en décimètres, 6 dm × 3 dm × 4 dm = 72 dm³, soit 72 L directement.
En pratique, on ne remplit pas un aquarium à ras bord : 72 L est la contenance maximale.

On compare deux aires, exprimées dans la même unité.
Aire de la pièce : 5 × 5 = 25 m², soit 25 × 10 000 = 250 000 cm².
Aire d'un carreau : 25 × 25 = 625 cm².
Nombre de carreaux : 250 000 ÷ 625 = 400 carreaux.
Autre méthode, plus parlante : 5 m font 500 cm, donc une rangée compte 500 ÷ 25 = 20 carreaux, et il y a 20 rangées, soit 20 × 20 = 400.
Piège : comparer 25 m² à 625 cm² sans convertir donnerait un résultat absurde.

Pour une figure composée, on calcule l'aire totale, puis on retire la partie occupée.
Aire du jardin : 10 × 6 = 60 m².
Aire de la cabane : 2 × 2 = 4 m².
Pelouse restante : 60 − 4 = 56 m².
Vérification : la cabane occupe une petite partie du jardin, et 4 m² sur 60 est bien peu, ce qui est cohérent.
Remarque : la position de la cabane dans le jardin ne change rien à l'aire restante, seulement à la forme de la pelouse.

On part de la formule V = L × l × h et l'on remonte à l'inconnue.
Aire de la base : 8 × 5 = 40 cm².
Le volume vaut l'aire de la base multipliée par la hauteur, donc la hauteur s'obtient en divisant : 240 ÷ 40 = 6.
La hauteur est de 6 cm.
Vérification : 8 × 5 × 6 = 240 cm³, le volume annoncé.
La même démarche vaut pour toute dimension manquante : on calcule le produit des deux dimensions connues, puis on divise le volume par ce produit.