Exercices corrigés — Multiples et diviseurs (CM1)

Les multiples de 8 s'obtiennent en multipliant 8 par 0, 1, 2, 3, et ainsi de suite.
8 × 0 = 0 ; 8 × 1 = 8 ; 8 × 2 = 16 ; 8 × 3 = 24 ; 8 × 4 = 32 ; 8 × 5 = 40.
Réponse : 0, 8, 16, 24, 32, 40.
On passe d'un multiple au suivant en ajoutant 8 : c'est une autre façon de les retrouver, sans repasser par la table.
Zéro est bien un multiple de tous les nombres, puisque 8 × 0 = 0.

On cherche les couples de nombres dont le produit vaut 24, en partant de 1.
1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6. À partir de 5, on retomberait sur des couples déjà écrits, car 5 ne divise pas 24 et 6 × 4 est déjà trouvé.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, soit huit diviseurs.
La recherche par couples garantit qu'aucun n'est oublié : chaque petit diviseur en apporte un grand.

Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres l'est.
435 : 4 + 3 + 5 = 12, multiple de 3, donc oui.
720 : 7 + 2 + 0 = 9, donc oui.
1 116 : 1 + 1 + 1 + 6 = 9, donc oui.
2 005 : 2 + 0 + 0 + 5 = 7, qui n'est pas dans la table de 3, donc non.
Réponse : 435, 720 et 1 116.
Piège : ne pas confondre avec le critère de divisibilité par 2 ou 5, qui ne regardent que le dernier chiffre. Pour 3, c'est bien la somme de tous les chiffres.

Par 9, on additionne les chiffres : 5 + 4 + 8 + 1 = 18, et 18 = 9 × 2. Donc oui.
Par 2, on regarde le chiffre des unités : c'est 1, un chiffre impair. Donc non.
Par 5, le chiffre des unités devrait être 0 ou 5 ; il vaut 1. Donc non.
Vérification : 5 481 ÷ 9 = 609, division exacte.
Un nombre divisible par 9 l'est aussi par 3, puisque 9 est un multiple de 3 ; mais il n'a aucune raison d'être pair.

Le critère de divisibilité par 9 porte sur la somme des chiffres.
Les deux chiffres connus donnent 4 + 2 = 6. Il faut que 6 + le chiffre cherché soit un multiple de 9.
Le premier multiple de 9 au-dessus de 6 est 9 lui-même, donc le chiffre manquant est 9 − 6 = 3.
Le nombre est 423. Vérification : 4 + 2 + 3 = 9, et 423 ÷ 9 = 47.
Le multiple suivant, 18, donnerait 12 comme chiffre manquant : impossible, un chiffre va de 0 à 9. La solution est donc unique.

Un partage équitable sans reste est possible quand le nombre d'enfants divise 342.
Par 2 : 342 se termine par 2, il est pair, donc oui, chacun reçoit 342 ÷ 2 = 171 bonbons.
Par 5 : le chiffre des unités n'est ni 0 ni 5, donc non. La division donnerait 68 bonbons chacun et il resterait 2.
Par 9 : 3 + 4 + 2 = 9, multiple de 9, donc oui, chacun reçoit 342 ÷ 9 = 38 bonbons.
Les critères de divisibilité répondent ici sans poser une seule division.

Un nombre multiple de 4 et de 6 est un multiple commun aux deux. Le plus petit d'entre eux est 12, car les multiples de 4 sont 4, 8, 12, ... et ceux de 6 sont 6, 12, ...
Les multiples communs sont donc les multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
Entre 30 et 70, on retient 36, 48 et 60.
Vérification pour 48 : 48 = 4 × 12 et 48 = 6 × 8, il est bien multiple des deux.
Piège : 24 est multiple de 4 et de 6, mais il est plus petit que 30 ; et 72 dépasse 70.

Le nombre de rangées doit diviser 48, sinon la dernière rangée serait incomplète.
Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Entre 4 et 10, on retient 4, 6 et 8.
Les dispositions possibles sont : 4 rangées de 12 chaises, 6 rangées de 8 chaises et 8 rangées de 6 chaises.
Vérification : 4 × 12 = 48, 6 × 8 = 48 et 8 × 6 = 48.
Avec 5 rangées, il resterait 3 chaises, car 5 ne divise pas 48 ; avec 7, il en resterait 6.