Exercices corrigés — Les nombres décimaux (CM1)

Le dénominateur indique le rang du dernier chiffre : dixièmes pour 10, centièmes pour 100, millièmes pour 1 000.
310 = 0,3 : trois dixièmes.
87100 = 0,87 : 87 centièmes, soit 8 dixièmes et 7 centièmes.
91 000 = 0,009 : il faut deux zéros pour occuper les rangs des dixièmes et des centièmes.
145100 = 1,45 : 145 centièmes valent une unité et 45 centièmes, car 100 centièmes font 1.
Piège : écrire 0,9 au lieu de 0,009 revient à confondre dixièmes et millièmes.

On compte les chiffres après la virgule : un chiffre donne des dixièmes, deux chiffres des centièmes.
0,6 = 610.
0,25 = 25100, car il y a deux décimales.
2,4 = 2410 : les 2 unités valent 20 dixièmes, auxquels s'ajoutent 4 dixièmes.
Vérification : 24 ÷ 10 = 2,4.
On pourrait simplifier 610 en 35 et 25100 en 14, mais ce ne seraient plus des fractions décimales, dont le dénominateur doit être 10, 100 ou 1 000.

La partie entière est ce qui précède la virgule : 56.
Après la virgule, les rangs se lisent de gauche à droite : dixièmes, centièmes, millièmes.
Chiffre des dixièmes : 3. Chiffre des centièmes : 0. Chiffre des millièmes : 8.
Le zéro des centièmes n'est pas inutile : il tient la place. Sans lui, on lirait 56,38, un nombre différent.

Les parties entières sont toutes égales à 4 : on compare les décimales.
Pour y voir clair, on écrit tout avec deux décimales : 4,70 ; 4,07 ; 4,71 ; 4,70 ; 4,17.
On compare alors les parties décimales comme des entiers : 7 < 17 < 70 < 71.
Ordre croissant : 4,07 < 4,17 < 4,7 = 4,7 < 4,71.
Piège : 4,07 n'est pas plus grand que 4,7 sous prétexte qu'il a deux décimales. Le chiffre des dixièmes décide en premier, et 0 est plus petit que 7.

Chaque chiffre reçoit la valeur de son rang.
208,45 = 200 + 8 + 410 + 5100, ce qui s'écrit aussi 200 + 8 + 0,4 + 0,05.
Le zéro des dizaines n'apparaît pas dans la décomposition, puisque 0 dizaine ne vaut rien, mais il reste indispensable dans l'écriture du nombre.
Vérification : 200 + 8 = 208, puis + 0,4 + 0,05 = 208,45.

On regarde à chaque fois le chiffre placé juste à droite du rang demandé.
À l'unité : le chiffre des dixièmes est 4, plus petit que 5, donc on garde : 15.
Au dixième : le chiffre des centièmes est 7, donc on monte : 15,5.
Au centième : le chiffre des millièmes est 2, donc on garde : 15,47.
Piège : les trois arrondis partent tous du nombre d'origine. Arrondir d'abord au centième, puis au dixième, puis à l'unité donnerait 15,47, puis 15,5, puis 16, une réponse fausse à la première question.

Entre 23 dixièmes et 24 dixièmes, aucun dixième ne s'intercale : il faut descendre au rang des centièmes.
On écrit 2,3 = 2,30 et 2,4 = 2,40. Entre 230 et 240 centièmes, on trouve 231, 232, et ainsi de suite.
Par exemple, 2,35 convient, car 2,30 < 2,35 < 2,40.
Il y en a neuf avec deux décimales : 2,31 à 2,39. En descendant aux millièmes, on en trouverait 99 de plus, puis encore davantage : entre deux décimaux, il existe toujours une infinité de décimaux.
C'est ce qui distingue les décimaux des entiers : entre 23 et 24, il n'y a aucun entier.

On part de la fraction décimale, puis on simplifie.
0,5 = 510 ; en divisant par 5 : 12, c'est-à-dire la moitié.
0,25 = 25100 ; en divisant par 25 : 14, c'est-à-dire le quart.
0,75 = 75100 ; en divisant par 25 : 34, c'est-à-dire les trois quarts.
Vérification : 14 + 14 = 12, et de fait 0,25 + 0,25 = 0,5. De même, 0,75 + 0,25 = 1.
Ces trois égalités reviennent souvent, dans les prix comme dans les mesures : il est utile de les connaître par cœur.