Exercices corrigés — Les aires (CM1)

L'aire mesure la surface couverte. Pour un rectangle, A = L × l ; pour un carré, les deux dimensions sont égales.
Rectangle : A = 12 × 7 = 84 cm².
Carré : A = 9 × 9 = 81 cm².
L'unité est le centimètre carré, car on compte des carrés de 1 cm de côté : il en faut 12 par rangée et 7 rangées pour couvrir le rectangle.
Piège : écrire 84 cm au lieu de 84 cm² confond une surface avec une longueur.

Pour les aires, chaque changement d'unité vaut cent fois, car un carré de 1 dm de côté mesure 10 cm sur 10 cm, soit 100 cm².
3 m² = 3 × 100 = 300 dm².
500 cm² = 500 ÷ 100 = 5 dm².
2 dm² = 2 × 100 = 200 cm².
Piège : appliquer la règle des longueurs et multiplier par 10 donnerait un résultat dix fois trop petit. Pour les aires, on multiplie ou divise toujours par 100 d'un rang à l'autre.

Deux étapes : l'aire, puis le prix.
Aire : A = 6 × 4,5 = 27 m². On peut calculer 6 × 4 = 24 et 6 × 0,5 = 3, soit 27.
Prix : 27 × 15 = 405, car 27 × 10 = 270 et 27 × 5 = 135.
Le salon mesure 27 m² et la moquette coûte 405 €.
Vérification par ordre de grandeur : environ 27 × 15, c'est-à-dire un peu moins de 30 × 15 = 450 €.

On remonte de l'aire à la dimension manquante par une division.
Largeur : 48 ÷ 8 = 6 cm.
Périmètre : P = 2 × (8 + 6) = 2 × 14 = 28 cm.
La largeur est de 6 cm et le périmètre de 28 cm.
Vérification : 8 × 6 = 48 cm², l'aire annoncée.
Les deux résultats ne se comparent pas : l'un est une longueur en cm, l'autre une surface en cm².

Pour une figure composée, on la découpe en figures connues, puis on additionne les aires.
Rectangle : 10 × 4 = 40 cm².
Carré : 4 × 4 = 16 cm².
Aire totale : 40 + 16 = 56 cm².
Les deux morceaux ne se chevauchent pas, puisque le carré est accolé au rectangle : leurs aires s'ajoutent donc simplement.
Le périmètre, lui, ne s'additionne pas de la même façon : les côtés collés l'un à l'autre disparaissent du contour.

Carré : périmètre 4 × 4 = 16 cm ; aire 4 × 4 = 16 cm².
Rectangle : périmètre 2 × (8 + 2) = 20 cm ; aire 8 × 2 = 16 cm².
Les deux figures ont la même aire, 16 cm², mais des périmètres différents : 16 cm pour le carré, 20 cm pour le rectangle.
À aire égale, la figure la plus allongée a le plus grand périmètre ; c'est le carré qui, parmi tous les rectangles de même aire, a le tour le plus court.
Cet exemple montre que périmètre et aire mesurent deux choses différentes : l'un le contour, l'autre la surface.

On remonte du périmètre au côté, puis du côté à l'aire.
Un carré a quatre côtés égaux, donc le côté vaut 36 ÷ 4 = 9 m.
Aire : 9 × 9 = 81 m².
Vérification : un carré de 9 m de côté a bien un périmètre de 4 × 9 = 36 m.
Piège : ne pas confondre les deux grandeurs. Le nombre 36 est un périmètre, en mètres ; il ne donne pas directement l'aire, qui s'exprime en mètres carrés.

Le plus simple est de compter les dalles rangée par rangée, en convertissant les longueurs en centimètres.
5 m = 500 cm, et 500 ÷ 50 = 10 dalles par rangée.
4 m = 400 cm, et 400 ÷ 50 = 8 rangées.
Nombre de dalles : 10 × 8 = 80 dalles.
Vérification par les aires : la pièce mesure 5 × 4 = 20 m², soit 200 000 cm² ; une dalle mesure 50 × 50 = 2 500 cm² ; et 200 000 ÷ 2 500 = 80.
Piège : comparer 20 m² à 2 500 cm² sans convertir donnerait un résultat absurde.