Exercices corrigés — Le calcul mental et les ordres de grandeur (CM1)

Multiplier par 100 ou 1 000 décale chaque chiffre de deux ou trois rangs vers la gauche ; diviser le décale d'autant vers la droite.
78 × 100 = 7 800 : les unités deviennent des centaines.
45 × 1 000 = 45 000.
6 300 ÷ 100 = 63 : les centaines redeviennent des unités.
90 000 ÷ 1 000 = 90.
Contrôle du sens : une multiplication agrandit le nombre, une division le réduit. Si le résultat va dans l'autre sens, c'est qu'on s'est trompé de direction.

On cherche à faire apparaître 100 ou 1 000, faciles à manier.
25 × 8 : on décompose 8 en 4 × 2, et 25 × 4 = 100, donc 25 × 8 = 100 × 2 = 200.
50 × 14 : on décompose 14 en 10 + 4, donc 50 × 10 + 50 × 4 = 500 + 200 = 700.
250 × 4 = 1 000, un produit qu'il est utile de connaître par cœur.
Ces trois calculs reposent sur la même idée : regrouper autrement les facteurs, ou décomposer un facteur en somme.

On remplace le nombre presque rond par le nombre rond, puis on corrige.
998 × 5 : je calcule 1 000 × 5 = 5 000. Mais j'ai compté 2 de trop, cinq fois, soit 10 de trop. Je retire : 5 000 − 10 = 4 990.
102 × 6 : je calcule 100 × 6 = 600. Il manque 2 pris six fois, soit 12. J'ajoute : 600 + 12 = 612.
Piège : la correction se multiplie elle aussi. Retirer seulement 2 au lieu de 10 dans le premier calcul est l'erreur la plus fréquente.

On remplace chaque nombre par un arrondi commode.
3 875 × 21 : environ 4 000 × 20 = 80 000. Le résultat exact est 81 375, très proche.
61 940 ÷ 3 : environ 60 000 ÷ 3 = 20 000. Le résultat exact est 20 646 et il reste 2.
Un ordre de grandeur ne sert pas à répondre, mais à savoir à quoi doit ressembler la réponse. Si le calcul posé donnait 8 000 ou 800 000, on saurait aussitôt qu'une erreur s'est glissée.

On arrondit les deux nombres pour rendre le calcul faisable de tête.
48 500 places valent environ 50 000 places, et 32 € valent environ 30 €.
Recette approximative : 50 000 × 30 = 1 500 000 €, soit environ un million et demi d'euros.
Le calcul exact donnerait 1 552 000 €. L'estimation est un peu basse, car on a arrondi le prix vers le bas de 2 €, ce qui pèse beaucoup sur 48 500 places.
Une estimation reste utile : elle dit tout de suite que la recette se compte en millions, et non en milliers.

Une première estimation, 500 × 50 = 25 000, tombe pile sur la valeur à comparer : elle ne suffit donc pas à trancher.
On affine en calculant autrement : 512 × 48 = 512 × 50 − 512 × 2 = 25 600 − 1 024 = 24 576.
Donc 512 × 48 est plus petit que 25 000.
L'explication : par rapport à 500 × 50, on a gagné 12 unités sur un facteur mais perdu 2 sur l'autre, et la perte l'emporte.
Cet exemple montre la limite des ordres de grandeur : quand l'estimation tombe trop près de la valeur cherchée, il faut un calcul plus précis.

Dans une suite de multiplications, on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat : on regroupe donc ceux qui donnent un nombre rond.
4 × 25 × 7 : je regroupe 4 × 25 = 100, puis 100 × 7 = 700.
2 × 17 × 50 : je regroupe 2 × 50 = 100, puis 100 × 17 = 1 700.
Dans les deux cas, calculer dans l'ordre écrit aurait demandé de poser une multiplication ; le regroupement la rend inutile.
Les couples à repérer : 4 et 25, 2 et 50, 8 et 125, qui donnent tous 100 ou 1 000.

On compare à un calcul voisin, plus simple : 3 000 ÷ 5 = 600.
Comme 2 950 est plus petit que 3 000, son quotient par 5 est plus petit que 600.
Résultat exact : 2 950 ÷ 5 = 2 950 ÷ 5. On peut décomposer : 2 500 ÷ 5 = 500 et 450 ÷ 5 = 90, donc le quotient vaut 500 + 90 = 590.
Vérification : 590 × 5 = 2 950.
Diviser un nombre plus petit par le même diviseur donne toujours un quotient plus petit : c'est ce raisonnement qui permet de répondre sans poser l'opération.