Exercices corrigés — Géométrie plane (CM1)

On applique la propriété du cours : si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Comme (a) et (b) sont parallèles et que (c) est perpendiculaire à (a), on conclut que (c) est perpendiculaire à (b).
On peut s'en convaincre en imaginant deux rails parallèles et une traverse posée en travers : elle forme un angle droit avec les deux rails.
Piège : cette propriété ne dit rien si (a) et (b) ne sont pas parallèles.

On compare les longueurs : deux côtés mesurent 5 cm, le troisième 8 cm.
Deux côtés égaux font un triangle isocèle. Il n'est pas équilatéral, puisque les trois côtés ne sont pas tous égaux.
Il possède un seul axe de symétrie : celui qui part du sommet situé entre les deux côtés de 5 cm et rejoint le milieu du côté de 8 cm.
En pliant la figure le long de cet axe, les deux côtés de 5 cm se superposent exactement. Aucun autre pli ne donne ce résultat.

Les diagonales d'un carré possèdent trois propriétés remarquables, qu'il partage avec le rectangle pour la première et avec le losange pour les deux autres.
Elles sont de même longueur, comme dans tout rectangle.
Elles sont perpendiculaires entre elles, comme dans tout losange.
Elles se coupent en leur milieu, en un point qui est le centre du carré.
Ces trois propriétés réunies caractérisent le carré : un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur, perpendiculaires et de même milieu est nécessairement un carré.

Le diamètre vaut deux rayons, donc le rayon est la moitié du diamètre.
Rayon : 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
Le compas se règle sur le rayon, car sa pointe reste au centre pendant que la mine décrit le cercle. L'écartement doit donc être de 4,5 cm.
Piège : régler le compas sur 9 cm tracerait un cercle deux fois trop grand, de 18 cm de diamètre.

Un axe de symétrie partage la figure en deux moitiés qui se superposent par pliage.
Losange non carré : 2 axes, ses deux diagonales.
Triangle équilatéral : 3 axes, un par sommet, passant par le milieu du côté opposé.
Parallélogramme quelconque : aucun axe. Il possède bien un centre de symétrie, mais aucun pli ne fait coïncider ses deux moitiés.
Piège : les diagonales d'un parallélogramme ne sont pas des axes de symétrie, contrairement à celles du losange, qui ont la même longueur de part et d'autre.

On construit d'abord l'angle droit, puis on reporte les longueurs.
1. Je trace un segment [AB] de 4 cm à la règle graduée.
2. Avec l'équerre, je trace la perpendiculaire à (AB) passant par A.
3. Sur cette perpendiculaire, je reporte 3 cm à partir de A et je place le point C.
4. Je relie B et C.
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm et AC = 3 cm.
L'ordre compte : c'est l'angle droit qui se trace en premier, car les deux longueurs données sont celles de ses côtés. Le troisième côté, [BC], n'a pas à être mesuré ; sa longueur découle de la construction.

Dans un losange, les quatre côtés sont égaux : le compas suffit pour les reporter.
1. Je trace le segment [AC] de 6 cm.
2. Je règle le compas sur 4 cm, la longueur d'un côté. Pointe en A, je trace un arc de cercle au-dessus de [AC], puis un autre en dessous.
3. Sans changer l'écartement, pointe en C, je trace deux arcs qui coupent les précédents. Les intersections donnent les points B et D.
4. Je relie A, B, C et D.
Le quadrilatère ABCD est un losange, car ses quatre côtés mesurent 4 cm par construction.
Le compas garantit l'égalité des côtés bien mieux que la règle graduée, où chaque report introduit une petite erreur.

Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu, mais elles ne sont pas perpendiculaires en général. Dans un rectangle allongé, elles forment un angle très ouvert et un angle très fermé.
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, mais elles n'ont pas la même longueur en général : dans un losange aplati, l'une est bien plus longue que l'autre.
Le seul cas où les deux réponses deviennent « oui » est celui du carré, qui est à la fois un rectangle et un losange.
À retenir : chaque quadrilatère apporte ses propriétés ; c'est en les cumulant qu'on obtient le carré.